Как сделать устойчивой особую точку векторного поля

[Oleg Zubelevich]

Ну вот и доказательство. Там, возможно, что-то надо прописать подробнее, но , думаю, что фатальных ошибок нет.

Пусть $\dot x=v(x),\quad x\in\mathbb{R}^m,\quad v(0)=0$ -- гладкая динамическая система. Эта система имеет инвариантную меру с плотностью $\rho$ -- дифференцируемой функцией в окрестности нуля, $\rho(0)>0$. Пусть $f$ -- определенно положительная функция Ляпунова и такая, что $L_vf\le 0$. Теорема. В некоторой окрестности нуля справедливо равенство $L_vf=0$. Доказательство достаточно провести для системы $\dot x=u=\rho v$. Очевидно, $L_uf\le0,\quad \mathrm{div}\, u=0$. Пусть $L_uf(x')<0$ и заметим, что неравенство $$L_uf(x)<0\qquad (*)$$ выполняется в некоторой открытой окрестности $U$ точки $x'$. Положим $f(x')=c$. Множество $D=\{x\mid f(x)\le c\} $ инвариантно относительно потока системы с векторным полем $u$ и $x'\in\partial D$. Точку $x'$ будем считать настолько близкой к нулю, что вектор $\nabla f(x')$ направлен во вне области $D$. $$0=\int_D\mathrm{div}\,u\,dV=\int_{\partial D}(u,n)\,dS<0.$$ Противречие. Последнее неравенство вытекает из того, что $m-1$ мерный объем множества $P=U\bigcap \partial D$ больше нуля, и в точках множества $P$ имеем $(u,n)<0$ -- следует из формулы (*). Теорема доказана.

[scwec]

Вот нашел свое старое доказательство, не использующее формулу Стокса.
1. Пусть $V$ - функция Ляпунова для поля $X$. $X(V)\le{0}$. Возьмем точку $x_1$, в которой $X(V(x_1))<0$. Неравенство справедливо и в некоторой окрестности $x_1$. Обозначим её $U$. Пусть $D_1$ и $D_2$ - замкнутые шары $D_2\subset{D_1}\subset{U}$.
Вдоль любой траектории, начинающейся в $D_1$, $V$ убывает со скоростью $|w|\ge\min|{X(V)|}_{D_1}|=m\ne{0}$. Следовательно, она не может находиться все время внутри $D_1$ и за конечное время выходит на границу $\partial{D_1}$.
$\inf$ таких времен по всем точкам $D_2$ обозначим $T>0$.
2. Найдется траектория, начинающаяся в $D_2$ и возвращающаяся в него (Теорема Пуанкаре). Для всех таких траекторий изменение $V$ после возвращения в $D_2$ это $|\bigtriangleup{V}|\ge{mT}$.
3.А теперь, используя равномерную непрерывность $V$, можно рассмотреть вложенный в $D_2$ достаточно малый шарик $D_3$, (для которого тоже справедлива теорема о возвращении) и величину $|\bigtriangleup{V}|$ сделать сколь угодно малой, а сдругой стороны, находясь в пределах $D_2$ имеем $|\bigtriangleup{V}|\ge{mT}$.
Противоречие.
В старых записях есть и формула Стокса, но очень неразборчиво, впрочем, приведенное здесь доказательство тоже разобрал не сразу