Псевдопостоянная функция

[Dave]

Существует ли непрерывная функция $f \colon \mathbb R \to \mathbb R$, отличная от константы, такая, что:
1) в любой правосторонней окрестности
2) в любой окрестности
любой точки она принимает такое же значение, как и в этой точке, ещё минимум один раз?

[worm2]

По 1) ответ, вроде, отрицательный.
Обозначим через $M$ множество точек $x>0$, для которых существует окрестность, в каждой точке которой функция отлична от $f(0)$. Если $M\ne\emptyset$, то $M$ имеет точную нижнюю грань, которую обозначим $x_0$. Заметим, что существует последовательность бесконечно приближающихся к $x_0$ слева точек, в которых $f(x)=f(0)$. По непрерывности $f(x_0)=f(0)$. Но по свойству $f$ справа от $x_0$ сколь угодно близко к ней должны быть точки, в которых $f(x)=f(0)$, что противоречит определению точной нижней грани здесь ошибка, ничего не получилось. Следовательно, предположение о непустоте $M$ неверно и в окрестности каждой положительной точки $f$ принимает значение $f(0)$. Таким образом, множество $M_0=\{x>0: f(x)=f(0)\}$ всюду плотно в $\mathbb{R}_+$, по непрерывности $f$ является константой на $\mathbb{R}_+$, что лёгким движением руки расширяется на всё $\mathbb{R}$.

[Хорхе]

worm2 в сообщении #600323 писал(а):

По непрерывности $f(x_0)=f(0)$. Но по свойству $f$ справа от $x_0$ сколь угодно близко к ней должны быть точки, в которых $f(x)=f(0)$, что противоречит определению точной нижней грани.

Вот тут не понимаю, что чему противоречит.

[worm2]

Хорхе писал(а):

Вот тут не понимаю, что чему противоречит.

Да, здесь ошибка в рассуждениях.

[ewert]

По пункту 1. Рассмотрим множество $M=\{x\geqslant a:\;f(x)= f(a)\}$. Это множество замкнуто, так что дополнение его до $[a;+\infty)$ если не пусто, то открыто. Пусть $c$ -- левый конец какого-нибудь составляющих это дополнения интервала. Тогда $c\in M$, т.е. $f(c)=f(a)$, и в то же время в некоторой правосторонней окрестности точки $c$ будет $f(c)\neq f(a)$, что противоречит условию. Т.е. дополнение к $M$ пусто и т.д.

-- Сб июл 28, 2012 12:52:39 --

[Хорхе]

А в 2) не подойдет, как всегда, координата кривой Пеано?

[Dave]

Подойдёт.

(Оффтоп)

Только почему "как всегда"? Это как в "Что? Где? Когда?": не знаешь, что отвечать - говори "Пушкин", не ошибёшься?

[Хорхе]

(Оффтоп)

Dave в сообщении #601640 писал(а):

Только почему "как всегда"? Это как в "Что? Где? Когда?": не знаешь, что отвечать - говори "Пушкин", не ошибёшься?

Ну да, просто есть много вопросов, ответом на которые является координата кривой Пеано: непрерывная функция, принимающее каждое значение несчетное число раз; функция со всюду плотным множеством локальных экстремумов; нигде не дифференцируемая непрерывная функция и т.д.

[Dave]

Выходит, что у координаты кривой Пеано (в конструкции самого Пеано или в конструкции Гильберта):

1) строгих локальных экстремумов вообще нет;
2) полустрогих - счётное всюду плотное множество;
3) нестрогих - континуальное в любом интервале множество.

Под полустрогим локальным экстремумом я понимаю строгий в некоторой левосторонней окрестности и нестрогий в любой правосторонней или наоборот; направление роста функции (вверх или вниз) должно быть одинаковым слева и справа.

[Dave]

А ещё вот такое интересное утверждение.

Определение. Назовём точку $t$ из области определения функции $f$ точкой отрыва, если в любой левосторонней окрестности $t$ существуют как точки с точно таким же значением функции, так и точки с меньшим значением, а в некоторой правосторонней окрестности $t$ все значения функции строго больше $f(t)$.

Докажите, что у кривой Пеано множество точек отрыва континуально в любом интервале из области определения.