Как сделать устойчивой особую точку векторного поля

[scwec]

Пусть $X$ гладкое векторное поле на $\mathbb{R}^n$, $x_0\in\mathbb{R}^n$ и $X(x_0)=0$.
Докажите, что всегда можно найти гладкую функцию $u(x)\ne\operatorname{const}$, $x\in\mathbb{R}^n$ такую, что для поля $Y=u(x)X$ точка $x_0$ будет устойчивой по Ляпунову.

[Oleg Zubelevich]

Пусть $x_0=0$
возьмем какю-нибудь положительно определенную функцию $f$ такую, что $u=-L_Xf\ne const$ Тогда $f$ это функция Ляпунова для $Y$

[scwec]

Всё верно. А теперь то же, но чтобы $x_0$ была неустойчивой

[Oleg Zubelevich]

это невозможно: на что не умножайте векторное поле системы $\dot x=y,\quad\dot y=-x$ первый интеграл $H=x^2+y^2$ никуда не денется

[scwec]

Кстати, раз уж появилась подходящая система - и сохраняет объем, и первый интеграл, и устойчивая нулевая точка и вообще гамильтонова система, то вот какой вопрос.
Докажите, что для стационарной системы, сохраняющей меру и имеющую устойчивую особую точку, функция Ляпунова, если она существует, явлется первым интегралом.

[Oleg Zubelevich]

ну это понятно, только мера должна быть хорошая

[scwec]

О том, что для гамильтоновых систем функция Ляпунова должна быть первым интегралом существует такая история:
два моих одногруппника (курсе на четвертом) рассказали мне, что они доказали интересную теорему и собираются её публиковать, но хотели посоветоваться по этому поводу с В.И. Арнольдом. Тот их выслушал, похвалил, но сказал, что для него этот факт очевиден. Ребята сильно расстроились и только и включили её в курсовую работу.
Я не знал их доказательства и сам потом доказал, используя теорему о возвращении Пуанкаре. Помню только, что корректное доказательство было довольно кропотливым.

[Munin]

(Оффтоп)

Очевидный - ещё не значит очевидно доказываемый, и иногда доказательство очевидного факта может быть сделанным впервые, и по сложности вполне заслуживающим публикации. Не говоря уже о случаях, когда в ходе доказательства выясняется, что факт неверен.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #602939 писал(а):

О том, что для гамильтоновых систем функция Ляпунова должна быть первым интегралом существует такая история:
два моих одногруппника (курсе на четвертом) рассказали мне, что они доказали интересную теорему и собираются её публиковать, но хотели посоветоваться по этому поводу с В.И. Арнольдом. Тот их выслушал, похвалил, но сказал, что для него этот факт очевиден. Ребята сильно расстроились и только и включили её в курсовую работу.
Я не знал их доказательства и сам потом доказал, используя теорему о возвращении Пуанкаре. Помню только, что корректное доказательство было довольно кропотливым.

Тут еще имхо возникает такой вопрос. А в чем ценность этого наблюдения? Курсовые и дипломные работы -- это замечательно, а публиковать-то что?

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #602952 писал(а):

Тут еще имхо возникает такой вопрос. А в чем ценность этого наблюдения? Курсовые и дипломные работы -- это замечательно, а публиковать-то что?

Встречный вопрос. О каком наблюдении идет речь?
О моем предыдущем сообщении как наблюдении или об очевидном факте (с точки зрения В.И. Арнольда) как наблюдении?

[Oleg Zubelevich]

я иммел в виду наблюдение, которое Арнольд назвал очевидным. Интуитивно оно действительно очевидно. Хотя строгое доказательство может оказаться непростым и внести нюансы в формулировку. Для меня важно другое: что ценного в понимание динамики это утверждение привносит?

[scwec]

Oleg Zubelevich в сообщении #603050 писал(а):

Для меня важно другое: что ценного в понимание динамики это утверждение привносит?

Вы задаёте совершенно убойный вопрос. На него не то что трудно, а вообще невозможно ответить.
Такие вопросы когда-то любили задавать в форме: а какая польза от этого народному хозяйству.
Могут существовать ведь совершенно разные мнения. Например, один из моих учителей утверждал,
что метод интегрирования Гамильтона-Якоби - вещь абсолютно бесполезная и приводил убедительные доводы.
Примеров не счесть.
Все, кто будут излагать свои мнения, будут, наверное, по-своему правы. Однако ведь здесь речь идет о частной задаче,
которую два студента решили и им это понравилось. Они творили, они получили одобрение от академика,
в добрый, как говорится, путь.
А польза динамике есть или нет - так бог с ней, этой динамикой, она и так устрашающе сложна и красива.
Жаль, если не оправдал Ваших надежд, если Вы ждали прямого ответа.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #603072 писал(а):

Вы задаёте совершенно убойный вопрос. На него не то что трудно, а вообще невозможно ответить.
Такие вопросы когда-то любили задавать в форме: а какая польза от этого народному хозяйству.

актуальность задачи это совсем не убийственный, а очень важный и серьезный вопрос, вот , например,

scwec в сообщении #603072 писал(а):

метод интегрирования Гамильтона-Якоби

позволил проинтегрировать ряд классических задач и исследовать их динамику

scwec в сообщении #603072 писал(а):

Однако ведь здесь речь идет о частной задаче,
которую два студента решили и им это понравилось. Они творили, они получили одобрение от академика,
в добрый, как говорится, путь.

студенты молодцы -- об этом и речи нет.

Но в Вашем посте прозвучало слово "опубликовать". Поэтому я и задал вопрос. Я не могу представить себе ни одного приложения этой теоремы. Если известна функция Ляпунова, то проверка является ли она первым интегралом -- дело тривиальное, теоремы не нужны. Значит что бы применить эту теорему содержательно, должно быть известно только то, что функция Ляпунова существует (при этом неизвестно является ли она первым интегралом), но сама она не должна быть известной. Вы знаете примеры задач с такой ситуацией?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #603077 писал(а):

актуальность задачи это совсем не убийственный, а очень важный и серьезный вопрос

Строгим это требование является только для диссертаций, а для рядовых публикаций - можно и достижение сомнительной актуальности опубликовать, например, просто показавшееся интересным или актуальным автору, рецензенту, редакционному совету.

[scwec]

Oleg Zubelevich, Вы ломитесь в открытые ворота.
1. Метод Гамильтона-Якоби не отрицается. Но существовали мнения по этому поводу. Я их не приветствовал. Но они были.
2. Публиковать теорему я не собирался. Она не моё изобретение.
3. А вот под нахождение функций Ляпунова как связки первых интегралов, она подводит какую-то теоретическую базу.
Можно с этим согласиться.
Вообще, должен сказать, что эта теорема из тех, что всем известна, но нигде не опубликована.