2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 ... 52  След.
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение29.07.2012, 13:54 


21/11/10
546
dmd в сообщении #600664 писал(а):
Еще одно сочетание:

$$(a+b)(c+b)(c+a)-(a+b)(c-b)(c-a)+(b-a)(c-b)(c+a)-(b-a)(c+b)(c-a)=8abc$$


Я бы записал все слагаемые со знаком плюс и слегка упорядочил, тогда получится:
$$(a+b)(a+c)(b+c)+(a+b)(a-c)(-b+c)+(a-b)(a+c)(b-c)+(a-b)(a-c)(-b-c)=8abc$$
В принципе то же самое, но читается на мой взгляд лучше.
Что у Вас является противоположными парами, не очень ясно, так как в записи участвуют три символа $a,b,c$
Вот в тождестве записанном при помощи четырёх символов:
ishhan в сообщении #600428 писал(а):

$$x^3+y^3+z^3+s^3=3(x+s)(y+s)(z+s)$$
Где $x+y+z+s=0$

Противоположными парами являются $x+y$ и $-z-s $ и это очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение30.07.2012, 17:00 


16/08/05
1153
Имеем $3\mid a+b-c$ и $a+b-c\mid abc$.

Но абсолютно аналогичными соображениями, какими были получены вышеприведённые делимости, можно получить $3\mid a+b+c$ и $a+b+c\mid abc$. Тогда гарантировано $3\mid c$. Проверьте меня пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение30.07.2012, 19:09 


21/11/10
546
dmd в сообщении #601056 писал(а):
Имеем $3\mid a+b-c$ и $a+b-c\mid abc$.


Укажите к какому соотношению между $a,b,c$ это относится, а то как то непонятно о чём речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение30.07.2012, 20:13 


16/08/05
1153
ishhan в сообщении #601140 писал(а):
Укажите к какому соотношению между $a,b,c$ это относится, а то как то непонятно о чём речь?

К исходному $a^3+b^3=c^3$. Полученные делимости - следствия этого равенства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение30.07.2012, 20:51 


21/11/10
546
Если к исходному, то следует, что одно из чисел $a,b,c$ делится на 3 но не обязательно это будет число которое Вы обозначаете как $c$.
Лично мне больше нравится не исходная $a^3+b^3=c^3$, а такая запись уравнения Ферма$ n=3$:
$(a+b-c)^3=3(a+b)(a-c)(b-c) $ из которой всё видно сразу по поводу делимости произведения чисел $a,b,c$ на $3$.
Но доказать это для каждого из чисел, то есть произведение чисел $abc$ делится на $27$ увы не получится, даже не пытайтесь этот путь ведёт в один из лабиринтов ВТФ 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение31.07.2012, 08:35 


16/08/05
1153
Если ошибки нет, тогда совместное рассмотрение $a+b+c\mid abc$ и $(a + b + c)^3 - (a + b - c)^3 - (a - b + c)^3 - (-a + b + c)^3=24abc$ даёт делимость $a+b+c\mid a^3+b^3+c^3$, или $\frac{a+b+c}{2}\mid c^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение31.07.2012, 23:18 


21/11/10
546
dmd в сообщении #601361 писал(а):
$a+b+c\mid abc$

Далее вместо $a,b,c$ привычные $x,y,z$
заметим что:
$(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz$
выполняется всегда
Но, если к тому же следует, что $x^3+y^3+z^3=0$

Тогда $(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz=\frac{(x+y+z)^3}{3}$
Нужно определиться, как записываем УФ:
$x^3+y^3+z^3=0$
или
$x^3+y^3-z^3=0$
Предлагаю первый вариант, что бы не "морочиться" с минусами у числа$ z$
И если так, то очевидно, что число $x+y+z$ делит число $xyz$
Если выбрать классический вариант записи то будет:
$(x+y)(x-z)(y-z)=(x+y-z)(xy-xz-yz)+xyz=\frac{(x+y-z)^3}{3}$
и число $x+y-z$ делит $xyz$
Так какой же вариант Вы выбираете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение01.08.2012, 07:42 


16/08/05
1153
Автором темы исходно задано $a^3+b^3=c^3$, ничего выбирать мы тут не можем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение01.08.2012, 17:54 


21/11/10
546
Тогда рассмотрим трином $(x+y-z)^3$ третьей степени при условии что $x^3+y^3=z^3$ получим:
$$(x+y-z)^3=3(x+y)(x-z)(y-z)=3(x+y-z)(xy-xz-yz)+3xyz$$
Отсюда следует:
$$x+y-z|3xyz$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение01.08.2012, 21:38 


16/08/05
1153
Аналогично $(a + b + c)^3=3 (a + b + c) (a b + a c + b c) + a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c$.

Значит $a + b + c\mid a^3 + b^3 + c^3 - 3 a b c$.

Это косвенно в слабой форме подтверждает полученные ранее более сильные делимости $a + b + c\mid a b c$ и $a + b + c\mid a^3 + b^3 + c^3$.

-- Ср авг 01, 2012 23:57:27 --

Туда же $(a - b + c)^3=3 (a - b + c) (-a b + a c - b c) + a^3 - b^3 + c^3 + 3 a b c$

и $(-a + b + c)^3=3 (-a + b + c) (-a b - a c + b c) - a^3 + b^3 + c^3 + 3 a b c$.

Но для $a - b + c$ и $-a + b + c$ более сильных делимостей не было найдено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение02.08.2012, 16:59 


21/11/10
546
dmd в сообщении #602045 писал(а):
Но для $a - b + c$ и $-a + b + c$ более сильных делимостей не было найдено.



Нужно искать и в другом направлении.
У ananova в теме "фильтрация фантомных решений" встретился момент, которым я уже давно занимаюсь на досуге.
Это число делителей для алгебраической формы стоящей в правой и в левой части уравнений эквивалентных уравнению Ферма.
Поясню на примере ВТФ n=3:

Уравнению Ферма соответствует $$(x+y-z)^3=3(x+y)(x-z)(y-z)$$
Если есть метод, который позволит доказать, что для любой тройки $x,y,z$ удовлетворяющей условиям целостности исходного уравнения число делителей $Nd_1$ симметрической формы $(x+y-z)^3$ не равно числу делителей $Nd_2$ для формы $3(x+y)(x-z)(y-z)$
$$Nd_1\ne{Nd_2}$$
то тем самым будет доказана невозможность исходного равенства в целых числах.
dmd,что скажете по этому поводу?
Было бы интересно узнать не только Ваше мнение на этот счёт, и конечно от хозяйки темы "заслушать приговор":)
Короче, нужно разработать теорию представления целых чисел при помощи неразложимых однородных симметрических форм (или формул) с целочисленными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение02.08.2012, 17:41 


16/08/09
304
ishhan в сообщении #602363 писал(а):
нужно разработать теорию представления целых чисел при помощи неразложимых однородных симметрических форм (или формул) с целочисленными коэффициентами.


Уважаемый ishhan а не закончится ли эта попытка чем-нибудь таким:

Феликс Шмидель в сообщении #597003 писал(а):
Известно, что $\mathbb{Z}[j]$ является кольцом целых алгебраических чисел поля $\mathbb{Q}[j]$, что в этом кольце имеет место теорема о единственности разложения на простые множители, и все положительные делители единицы имеют вид: $(j-1)^m$, где $m$ - целое число.
:-)

Или даже вот этаким:
Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной! :shock: :wink: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение02.08.2012, 18:10 


21/11/10
546
Belfegor в сообщении #602377 писал(а):
Уважаемый ishhan а не закончится ли эта попытка чем-нибудь таким:

Феликс Шмидель в сообщении #597003 писал(а):
Известно, что $\mathbb{Z}[j]$ является кольцом целых алгебраических чисел поля $\mathbb{Q}[j]$, что в этом кольце имеет место теорема о единственности разложения на простые множители, и все положительные делители единицы имеют вид: $(j-1)^m$, где $m$ - целое число.
:-)

Или даже вот этаким:
Всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модулярной! :shock: :wink: :D


Упаси Боже!
Терпеть не могу многостраничных лемм из теории Куммера о представлении чисел разложимыми формами в кольцах с алгебраическими расширениями.
Оставим в покое классику и будем искать действительно альтернативное доказательство, для этого я предлагаю обратиться к мнимому уравнению Ферма в котором фигурирует трином:
$$(x+y+z)^n=n(x+y)(x+z)(y+z)W^{n-3}(x,y,z)$$
А уравнение Ферма записывать для простых n как:
$$x^n+y^n+z^n=0$$

Где $W^{n-3}(x,y,z)$ целочисленная форма степени n-3
И ввести в рассмотрение трином $-x-y-z$ как равноправное с каждым из $x,y,z$
Хотелось бы начать в кольце Z (не исключаю, что и в кольце целых гауссовых чисел, но в крайнем случае )
Для начала нужно знать минимум основы теории групп и представлять, что такое кольцо вычетов по модулю простого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение02.08.2012, 19:30 


16/08/09
304
ishhan в сообщении #602381 писал(а):
Для начала нужно знать минимум основы теории групп и представлять, что такое кольцо вычетов по модулю простого числа.

Ну вот видите, так я и думал, что без вычетов не обойдется :-(
Хотя всё лучше,чем модулярные формы :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение02.08.2012, 20:29 


21/11/10
546
Belfegor в сообщении #602410 писал(а):
Ну вот видите, так я и думал, что без вычетов не обойдется :-(
Хотя всё лучше,чем модулярные формы :D


Начнём с вычетов
возьмём неупорядоченный набор остатков от деления на $13 $в виде $1,3,9$ или три из двенадцати возможных чисел этого кольца, которые кстати дают в сумме число $13$ так что на самом деле мы имеем дело с четвёркой $1,3,9,-13$ по модулю $13$ эта четвёрка представляет собой набор $1,3,9,0$
Умножим каждую компоненту на $3$ или на$ 9$ и опять получим тот же неупорядоченный набор:
$(1,3,9)\cdot{3}=(3,9,27)$ или по остаткам от деления на $13$
неупорядоченный набор останется таким же $(3,9,1)$ а в упорядоченном произойдёт циклическая перестановка.
Для симметрических от трёх переменных форм такая перестановка переменных не изменяет значение формы, поэтому можно сделать важный вывод...
Что здесь сложного?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 770 ]  На страницу Пред.  1 ... 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50 ... 52  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group