Мощность множеств

[Estimate]

Допустим у нас есть множество многочленов второго и первого порядка. Если отнять второго порядка, мощность снизится? То есть, все равно будет бесконечность разных многочленов, но мощность снизится, так?
Заранее спасибо.

[muzeum]

Estimate в сообщении #601856 писал(а):

Допустим у нас есть множество многочленов второго и первого порядка. Если отнять второго порядка, мощность снизится? То есть, все равно будет бесконечность разных многочленов, но мощность снизится, так?
Заранее спасибо.

Зависит от того, над каким кольцом/полем рассматриваются многочлены. Если над конечным, то мощность действительно снизится, а над бесконечным такого может и не произойти.

[Mathusic]

Estimate в сообщении #601856 писал(а):

Если отнять второго порядка, мощность снизится

Нет. $A^2 \sim A$ для бесконечных множеств при принятии аксиомы выбора.

-- Ср авг 01, 2012 15:37:04 --

Estimate в сообщении #601856 писал(а):

Допустим у нас есть множество многочленов

Вы имеете в виду скорее всего, как видно из вашего сообщения, многочлены над бесконечными множествами $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$, например.
А это важно, как указал предыдущий оратор.

muzeum в сообщении #601858 писал(а):

а над бесконечным такого может и не произойти.

Я бы сказал точнее - "не произойдет".

[Профессор Снэйп]

muzeum в сообщении #601858 писал(а):

Если над конечным, то мощность действительно снизится, а над бесконечным такого может и не произойти.

А что, может и произойти?

[Estimate]

Спасибо за ответы. Тогда главный вопрос, каким словом сказать что, в общем-то, многочленов стало меньше? Просто сказать, что $\Omega_1 \subset \Omega$ ?

[svv]

Хотя с точки зрения теории множеств их и не стало меньше, мы её временно попросим помолчать.

Возможно, Вы ищете примерно такого. Множество полиномов второй степени (точнее, множество полиномов степени не выше второй) с вещественными крэффициентами образует трехмерное линейное (векторное) пространство . Каждый такой полином $p(x)=a_0+a_1 x+ a_2 x^2$ однозначно определяется набором коэффициентов $(a_0, a_1, a_2)$. Будем понимать эти числа как три координаты точки в трехмерном пространстве. Тогда каждому полиному взаимно-однозначно соответствует точка.

Аналогично, множество полиномов степени не выше первой образует двумерное векторное пространство. Каждому такому полиному $p(x)=a_0+a_1 x$ можно поставить в соответствие точку в двумерном пространстве с координатами $(a_0, a_1)$.

[Mathusic]

Estimate в сообщении #601966 писал(а):

Тогда главный вопрос, каким словом сказать что, в общем-то, многочленов стало меньше? Просто сказать, что $\Omega_1 \subset \Omega$ ?

Ну да.

Можно ещё картиночку, которую svv наводит, представить: было, например пространство $\mathbb{R}^3$ многочленов, а осталась одна плоскость, проходящая через нуль.

[Estimate]

Всем спасибо.

[muzeum]

Профессор Снэйп в сообщении #601901 писал(а):

muzeum в сообщении #601858 писал(а):

Если над конечным, то мощность действительно снизится, а над бесконечным такого может и не произойти.

А что, может и произойти?

Вообще-то данная тема закончилась, но все же интересно:
1. Можно ли задать структуру ассоциативного коммутативного кольца на дедекиндово конечном бесконечном множестве?
2. Если ДА, то будет ли мощность множества многочленов строго уменьшаться при выбрасывании многочленов степени 2?