Перестановка столбцов квадратной матрицы

[Ktina]

В квадратную матрицу порядка $n$ записаны положительные вещественные числа, произведение которых больше 1.
Всегда ли существует такая перестановка столбцов этой матрицы, при которой произведение чисел на главной диагонали также больше 1?

[arqady]

Всегда.
Рассмотрим таблицу умножения некоторой группы порядка $n$...

[Ktina]

arqady в сообщении #601771 писал(а):

Всегда.
Рассмотрим таблицу умножения некоторой группы порядка $n$...

Восьмиклассники уже знают, что такое группа?

(Оффтоп)

Хотя, если речь идёт о восьмиклассниках школы "Шевах", охотно верю.

[arqady]

Ну хорошо, рассмотрим латинский квадрат порядка $n$...

(Оффтоп)

Семикласники во всех школах Израиля знают, что такое группа.

[Ktina]

arqady в сообщении #601773 писал(а):

(Оффтоп)

Семикласники во всех школах Израиля знают что такое группа.

Вы группу с множеством не перепутали?

[arqady]

Ktina в сообщении #601776 писал(а):

Вы группу с множеством не перепутали?

Нет нет, именно группа. Понял Ваш намёк! Это у нас в министерстве Просвещения всегда путали. Но теперь у них другого выхода нет. Сами же хотят, чтобы детишки в седьмом классе с группами познакомились.
Кстати, понятия множества и разных там операций с ними в программе седьмого класса у нас по существу нет. Вот так вот!

[nnosipov]

arqady в сообщении #601779 писал(а):

Кстати, понятия множества и разных там операций с ними в программе седьмого класса у нас по существу нет. Вот так вот!

То есть группы есть, а множеств нет? Сурово. А ещё Колмогорова ругают.

[arqady]

nnosipov, если б Вы видели этот курс по группам! У нас большая проблема со школьным математическим образованим. Но это огромная и совсем другая тема.

[Mathusic]

arqady в сообщении #601771 писал(а):

Всегда.
Рассмотрим таблицу умножения некоторой группы порядка $n$...

А поподробнее?

-- Ср авг 01, 2012 12:12:23 --

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #601772 писал(а):

Восьмиклассники уже знают, что такое группа?

А зачем вы употребляете слово "матрица". Восьмиклассники тоже его не знают!

arqady в сообщении #601786 писал(а):

если б Вы видели этот курс по группам!

Интересно было бы увидеть Правда, скорее всего он будет на непонятной вязи. Так что... А сколько хотя бы часов отводится на эту тему примерно, вы можете сообщить?

[arqady]

Mathusic в сообщении #601788 писал(а):

arqady в сообщении #601771 писал(а):

Всегда.
Рассмотрим таблицу умножения некоторой группы порядка $n$...

А поподробнее?

Рассмотрим таблицу умножения некоторой группы порядка $n$ и наложим её на данную. Рассмотрим $n$ произведений чисел данной таблицы, каждое из которых является произведением чисел соответствующих некоторому элементу группы. Произведение всех этих произведений больше единицы. Поэтому одно из них больше единицы и это произведение является произведением чисел, никакие два из которых не лежат в одной строке и никакие два из которых не лежат в одном столбце. Теперь переставляем столбцы так, чтобы числа из найденного нами произведения попали бы на диагональ.

-- Ср авг 01, 2012 13:28:41 --

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #601788 писал(а):

А сколько хотя бы часов отводится на эту тему примерно, вы можете сообщить?

12 часов. У нас ещё и теория кодирования в седьмом классе в обязаловке. На неё дали 10 часов.
Речь идёт об одном седьмом классе (типа самом сильном) в каждой школе.
И это вошло в общеизраильский обязательный экзамен в конце года.
Там на эти темы были четыре задачи. Надо было выбрать две.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #601767 писал(а):

Всегда ли существует такая перестановка столбцов этой матрицы, при которой произведение чисел на главной диагонали также больше 1?

На одной из диагоналей произведение больше единицы. Сделаем эту диагональ главной. Это решение укладывается в школьную программу?

[Ktina]

TOTAL в сообщении #601825 писал(а):

Ktina в сообщении #601767 писал(а):

Всегда ли существует такая перестановка столбцов этой матрицы, при которой произведение чисел на главной диагонали также больше 1?

На одной из диагоналей произведение больше единицы. Сделаем эту диагональ главной. Это решение укладывается в школьную программу?

Именно на это решение я и намекала.
Данная задача - ретушь задачи М296 из "Кванта".