Задача про числа

[DjD USB]

На доске написаны числа 2,3 и 9.Разрешается стирать пару чисел a и b и писать вместо них пару $a+b+\sqrt{a^2+b^2}$ и $a+b-\sqrt{a^2+b^2}$Может ли одно из чисел стать меньше единицы

[svv]

Проверьте, что при таком преобразовании не изменяется сумма чисел, обратных к трём записанным на доске.

[arseniiv]

svv, а как (и можно ли; вы догадались или у вас был алгоритм?) в общем случае найти инвариант?

[Mathusic]

arseniiv в сообщении #601221 писал(а):

svv, а как (и можно ли; вы догадались или у вас был алгоритм?) в общем случае найти инвариант?

Вы вопрос можете свой (про инвариант) сформулировать формально?

[svv]

Хе-хе...
Нет, алгоритма у меня не было. Был компьютер (в смысле, среда программирования). Я поместил на форму три кнопки, по каждой "это" производилось над соответствующей парой чисел. Дальше оставалось по-всякому нажимать на кнопки и следить за тем, как меняются числа.

Сначала я подумал: неужели всегда в таких задачах ответ "Невозможно"? А я возьму и найду способ. Минут через пять понял, что вряд ли. Два числа становятся очень большими, а третье уменьшается до 1.058... и дальше не хочет.

Была пара идей, которые выглядели перспективными, но из них ничего не получилось. Сумма чисел в преобразованной паре удваивается. Произведение тоже удваивается. Ну, и... ничего.

В конце концов решил посмотреть, а как ведут себя обратные величины. И заинтересовался их суммой $\frac 1 a+\frac 1 b+\frac 1 c$. Думал, сумма уменьшается, стремясь к пределу. Смотрю — а она стоит как вкопанная.

[Shadow]

Я додумался до того, что если a,b заменить на $x=a+b+\sqrt{a^2+b^2}, y=a+b-\sqrt{a^2+b^2}$
$\\x+y=2(a+b)\\ xy=2ab$
И что где-то здесь "зарыт труп"...но поделить не догадался.

[svv]

Ой... и я не догадался, что $\frac 1 x + \frac 1 y = \frac 1 a + \frac 1 b$ сразу следует из

Shadow писал(а):

$\\x+y=2(a+b)\\ xy=2ab$

Думал, это свойства бесполезные.

[Mathusic]

svv в сообщении #601315 писал(а):

Хе-хе...
Нет, алгоритма у меня не было. Был компьютер

Не, ну это читерство
Я вот, олимпиадные задачи никогда на компе так не гоняю из принципа (которые предполагаются для решения на едине с ручкой и бумагой), даже если есть перспектива увидеть ниточку, ведущую к решению

[svv]

А у нас с Вами, наверное, разные цели. Мне было важно поскорее помочь ТС.