Частица как представление группы Лоренца.

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601236 писал(а):

Это, к сожалению, не ответ на мой вопрос

Если вопрос

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

В самом ли деле можно строить теорию таких вот полей ? И если да, то будет ли она чем-то отличаться от теории полей, реализующих представление?

для начала вам надо описать группу такую, чтобы удовлетворяла вашим же условиям

2.5 в сообщении #601173 писал(а):

Более того, он остался бы неизменным даже если бы для каждого преобразования Лоренца $L$ константа была своя $\alpha(L)$.

[2.5]

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601243 писал(а):

для начала вам надо описать группу такую, чтобы удовлетворяла вашим же условиям

Какую группу? Я вот вам явно пример предъявил, как можно поля преобразовывать "необычным образом".

2.5 в сообщении #601116 писал(а):

Пусть $\Lambda(L)$ - "правильные" преобразование, т.е. такие, которые образуют представление $\Lambda(L_1)\Lambda(L_2)=\Lambda(L_1L_2)$. Я предлагаю вместо них рассмотреть преобразования $\Lambda'(L)=\Lambda(L)e^{if(\omega)}$, где $\omega_{\mu\nu}$ параметры преобразования $L$. Для определенности пусть $f(\omega)=\phi/2$, где $\phi=\omega_{12}$ - угол поворота вокруг оси $z$. Тогда, для преобразований $\Lambda'(L)$ вообще говоря не будет справедливо "групповое свойство". Пусть, например, $L_1$ и $L_2$ - повороты на угол $\pi$ вокруг осей $x$ и $y$ соответственно. Тогда $\Lambda'(L_1)=\Lambda(L_1)$ и $\Lambda'(L_2)=\Lambda(L_2)$ (поскольку преобразование со штрихами и без отличаются только в том случае, когда в преобразовании есть нетривиальный поворот вокруг $z$). Но при этом $L_1L_2$ - это поворот на $\pi$ вокруг оси $z$, так что $\Lambda'(L_1L_2)=\Lambda(L_1L_2)e^{i\pi/2}=i\Lambda(L_1L_2)$. В итоге в этом случае $\Lambda'(L_1)\Lambda'(L_2)=i\Lambda'(L_1L_2)$

Лагранжиан при этом остается инвариантен, как я пояснял в другом посте. У вас есть какие-то претензии к этим преобразованиям кроме тех, что они "от балды"?

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601252 писал(а):

Какую группу? Я вот вам явно пример предъявил, как можно поля преобразовывать "необычным образом".

По которой будете требовать инвариантности действия.
Вы предлогаете новый подход - так развивайте его.

2.5 в сообщении #601252 писал(а):

У вас есть какие-то претензии к этим преобразованиям кроме тех, что они "от балды"?

Нет. Только то, что они от балды.

[bayak]

2.5 в сообщении #601236 писал(а):

параметры, соответствующие преобразованию лоренца, являющегося комбинацией трех $L_1L_2L_3$

Не понятно. Хорошо, пусть $L_1$ это преобразование лоренца с параметром $\omega_{ L_1}$, пусть $L_2$ это преобразование лоренца с параметром $\omega_{ L_2}$, пусть $L_3$ это преобразование лоренца с параметром $\omega_{ L_3}$. Тогда что такое параметр преобразования лоренца $L_1L_2L_3$?

[2.5]

Никаких содержательных идей у меня пока по этому поводу нет, но мне кажется что все-таки одно из двух сделать можно - либо показать что такой подход использовать нельзя, либо показать что он приводит к старым результатам (версия что он приводит к новым результатам, мне пока кажется маловероятной).
Одно соображение по поводу квантовой теории, в которой мы рассматриваем функциональный интеграл $\int[D\phi]e^{-iS[\phi]}$. Несмотря на то, что действию в экспоненте нет дела до того, как мы преобразуем поле, на первый взгляд кажется что мера интегрирования к этому чувствительна. Соответственно можно попытаться найти какие-то эффекты, которые будут отличать квантовые теории с ненулевой функцией $f(\omega)$. Но, повторюсь в третий раз, у меня треврдых знаний в КТП не хватает, может быть кому-то уже очевидно что этот посыл никуда не ведет.
bayak хм, ну как. У нас есть некий способ параметризации преобразований Лоренца и, соответственно, взаимодноозначное соответствие $\omega_L\leftrightarrow\L$. $L_1L_2L_3$ - это какое-то вполне конкретное преобразование Лоренца и у него есть свои параметры (быстроты бустов и углы поворотов) $\omega_{L_1L_2L_3}$

[bayak]

2.5 в сообщении #601271 писал(а):

У нас есть некий способ параметризации преобразований Лоренца и, соответственно, взаимодноозначное соответствие $\omega_L\leftrightarrow\L$. $L_1L_2L_3$ - это какое-то вполне конкретное преобразование Лоренца и у него есть свои параметры (быстроты бустов и углы поворотов) $\omega_{L_1L_2L_3}$

Так $\omega_L$ это число (параметр) или числа (параметры)?

[lek]

2.5 в сообщении #601236 писал(а):

Ну они вряд ли изоморфны исходной группе Лоренца, поскольку мы могли бы начать и с рассмотрения тривиального представления. Могут ли они быть изоморфны между собой на первый взгляд мне не ясно

Я тут прикинул, получается следующее:
a) поскольку отображение $SL(2,\mathbb{C})\to G$ является одновременно гомоморфизмом и биекцией, группа $G\simeq SL(2,\mathbb{C})$;
b) элементами группы $G'$ являются комплексные матрицы размера $2\times2$ и умножение в $G'$ является умножением этих матриц. Далее, определитель $\det\Lambda'(L)\ne1$ (в общем случае). Поэтому вообще говоря $G'\ne SL(2,\mathbb{C})$. С другой стороны ясно, что $G'\subseteq GL(2,\mathbb{C})$, причем конкретный вид $G'$ связан с выбором функции $f=f(\omega)$.

А вот это вообще говоря не очень хорошо. Группу $G'$ мы все равно получаем (поскольку всегда можно рассмотреть последовательность операторов, действующих на пространстве представления). И если эта группа будет отличной от $SL(2,\mathbb{C})$, то возникнут проблемы с лоренц-инвариантностью исходного лагранжиана.

В связи с этим возникает следующий вопрос: можно ли подобрать функцию $f=f({\omega)$ так, чтобы группа $G'\simeq SL(2,\mathbb{C})$?

[2.5]

bayak
$\omega$ - это сокращенная запись для параметров лоренцевого преобразования $\omega_{\mu\nu}$, которых 6 (независимых) - 3 угла поворота вокруг каждой из осей, и 3 значения быстроты бустов, вдоль каждой из этих осей. Например $\omega_{12}$ - угол поворота вокруг оси $z$. Только это все вроде бы не очень-то важно в тех формулах, в которых они встречаются.

-- Пн июл 30, 2012 23:22:04 --

lek

lek в сообщении #601275 писал(а):

a) поскольку отображение $SL(2,\mathbb{C})\to G$ является одновременно гомоморфизмом и биекцией, группа $G\simeq SL(2,\mathbb{C})$;

А почему вы решили, что оно является биекцией? Отображение $\Lambda\to\Lambda'$ да, но отображение $SL(2,\mathbb{C})\to\Lambda(L)$ может быть и тривиальным гомомрфизмом "все в еденицу", как в случае скалярного поля?

Цитата:

b) элементами группы $G'$ являются комплексные матрицы размера $2\times2$

это о каком поле (представлении) речь?
Я не понял что вы написали дальше, но не очень могу представить как вы можете при том придти к выводу что

Цитата:

возникнут проблемы с лоренц-инвариантностью исходного лагранжиана.

[lek]

2.5, все это достаточно тривиально (вы просто небрежно прочитали сообщение). Попробуйте разобраться самостоятельно...

[bayak]

2.5 в сообщении #601276 писал(а):

Только это все вроде бы не очень-то важно в тех формулах, в которых они встречаются.

Извините, я пропустил вашу ремарку про вещественнозначную функцию от параметров. Хотя в этом случае можно говорить и о функции, зависящей непосредственно от преобразований лоренца. Но что это за функция? Какой геометрический образ за ней стоит?

[2.5]

lek
да, я в самом деле читал невнимательно, прошу прощения. Чуть позже попробую разобраться.
bayak

Цитата:

Хотя в этом случае можно говорить и о функции, зависящей непосредственно от преобразований лоренца

да, это то же самое. Пожалуй было моей ошибкой вводить эту терминологическую путаницу.

Цитата:

Но что это за функция? Какой геометрический образ за ней стоит?

возможно для какого-то конкретного выбора $f$ это и можно узнать. Но для этого хорошо бы сперва "геометрически" понимать, что означает $f=0$. Не уверен, что я себе это пердставляю.

[bayak]

lek в сообщении #601275 писал(а):

определитель $\det\Lambda'(L)\ne1$ (в общем случае).

Точнее, $\det\Lambda'(L)=e^{2if}$

[lek]

2.5 в сообщении #601293 писал(а):

да, я в самом деле читал невнимательно, прошу прощения. Чуть позже попробую разобраться.

OK! Завтра продолжим...

[2.5]

lek

Цитата:

Я тут прикинул, получается следующее:
a) поскольку отображение $SL(2,\mathbb{C})\to G$ является одновременно гомоморфизмом и биекцией, группа $G\simeq SL(2,\mathbb{C})$;
b) элементами группы $G'$ являются комплексные матрицы размера $2\times2$ и умножение в $G'$ является умножением этих матриц. Далее, определитель $\det\Lambda'(L)\ne1$ (в общем случае). Поэтому вообще говоря $G'\ne SL(2,\mathbb{C})$. С другой стороны ясно, что $G'\subseteq GL(2,\mathbb{C})$, причем конкретный вид $G'$ связан с выбором функции $f=f(\omega)$.

C этим согласен. Одно замечание - в вашем рассуждение ведь выбрано конкретное представление? Это, кажется, (фундаментальное)представление двухкомпонентных спиноров, которое еще называется $(1/2,0)$.

Цитата:

А вот это вообще говоря не очень хорошо. Группу $G'$ мы все равно получаем (поскольку всегда можно рассмотреть последовательность операторов, действующих на пространстве представления). И если эта группа будет отличной от $SL(2,\mathbb{C})$, то возникнут проблемы с лоренц-инвариантностью исходного лагранжиана.

эту часть рассуждения я тоже, кажется, понял. Только вот вы, видимо, предполагаете что $SL(2,\mathbb{C})$ симметрия - это полная группа симметрии лагранжиана в данном случае? Потому и говорите, что если $G'$ окажется шире чем $SL(2,\mathbb{C})$, то будут проблемы с инвариантностью? Но ведь у лагранжиана есть еще и $U(1)$ симметрия - "произвол" в глобальной фазе поля. И легко видеть что $G'\subseteq \{g\times u|g\in SL(2,\mathbb{C}),u\in U(1)\}$.
Ну и вообще, мы же и строили множество $G'$ именно так, чтобы любое преобразование из него было симметрией лагранжиана . Как мы можем придти к выводу, что это не так?

[lek]

2.5 в сообщении #601306 писал(а):

Одно замечание - в вашем рассуждение ведь выбрано конкретное представление? Это, кажется, (фундаментальное)представление двухкомпонентных спиноров

Да, конечно. Но это не принципиально, поскольку для $n$-мерного представления $\det\Lambda'(L)=e^{nif}$.

2.5 в сообщении #601306 писал(а):

...легко видеть что $G'\subseteq \{g\times u|g\in SL(2,\mathbb{C}),u\in U(1)\}$. Ну и вообще, мы же и строили множество $G'$ именно так, чтобы любое преобразование из него было симметрией лагранжиана. Как мы можем придти к выводу, что это не так?

Согласен, $G'\subseteq SL(2,\mathbb{C})\times U(1)$ и лагранжиан КЭД действительно инвариантен относительно действия группы $G'$ (проверил).

Однако возникла еще одна проблема. Рассмотрим последовательность $L_0=L_1L_2L_3$ трех преобразований Лоренца таких, что $L_0$ - тривиальное преобразование. Тогда, с одной стороны

$$ \Lambda'(L_0)=\Lambda(L_0)e^{if_0}=e^{if_0}=Id, $$

с другой

$$ \Lambda'(L_1)\Lambda'(L_2)\Lambda'(L_3)=\Lambda(L_0)e^{if_1+if_2+if_3}=e^{if_1+if_2+if_3}\ne Id. $$

Т.е. даже при тривиальном преобразовании пространства-времени мы имеем нетривиальное преобразование материальных полей (которое связано с наличием сомножителя $U(1)$). Ясно, что эта ситуация возникла в результате того, что итоговое преобразование полей зависит от последовательности преобразований Лоренца (от "пути" - как раз об этом вы и говорили первом сообщении). Однако работая в плоском пространстве все это трудно оправдать. Может быть надо перейти (от плоского пространства Минковского) к пространству с кривизной и связать симметрию группы $U(1)$ со связностью в этом пространстве? Это было бы более естественно...