Размещение неразличимых шаров по ящикам

[faruk]

Имеются k=10 одинаковых шаров и n=30 равновероятных ящиков, каждый из которых способен вместить все шары (т.е. вероятность попадания шара в ящик не зависит от его содержимого).
Какова вероятность того, что будет как минимум один ящик, в котором окажется не менее m=3 шаров?

[Brukvalub]

Попробуйте склеить три шара в одну группу и подсчитать вероятность для такой группы объектов.

[Хорхе]

Brukvalub писал(а):

Попробуйте склеить три шара в одну группу и подсчитать вероятность для такой группы объектов.

Хммм. По-моему, это больше запутывает.

Что я посоветую. Во-первых, если мы знаем, что в выбранном ящике $\ge 3$ шаров, мы можем установить соответствие такого распределения с произвольным распределением $7$-ми шаров. Дальше формула включения-исключения. Второй вариант - посчитать вероятность того, что во всех ящиках не более двух шаров, это довольно просто.

[Brukvalub]

Хорхе писал(а):

Brukvalub писал(а):
Попробуйте склеить три шара в одну группу и подсчитать вероятность для такой группы объектов.

Хммм. По-моему, это больше запутывает.

Что я посоветую. Во-первых, если мы знаем, что в выбранном ящике $\ge 3$ шаров, мы можем установить соответствие такого распределения с произвольным распределением $7$-ми шаров.

Забавно, что Ваше предложение в точности совпадает с моим "запутыванием".

[PAV]

Объединять три шара в группу и размещать 7 шаров по ящикам плохо, так как при этом крайне трудно подсчитать, сколько раз будет подсчитана каждая комбинация (а они будут подсчитаны по нескольку раз, причем разные комбинации будут учтены разное число раз). По моему мнению, получение правильного решения таким способом будет сопряжено со значительными трудностями и сильной неуверенностью.

Правильнее посчитать число способов разместить шары так, чтобы в каждый ящик попало не более двух шаров. Там тоже возникает некоторый перебор, но он довольно простой. Скажем, первый вариант - при котором в 10 ящиков попадает по 1 шару, а 20 ящиков остаются пустыми. Так как шары неразличимы, то это равносильно разбиению всех ящиков на две группы - 10 и 20 штук соответственно.

Второй способ - в 1 ящик попадают 2 шара, в 8 ящиков - по одному шару, 11 ящиков пустые. Здесь уже множество ящиков делится на три группы.

Ну и так далее.