помогите найти сумму степенного ряда

[gris]

Автор, кстати, и не думал о комплексном. И к чему оно? Ряд расходится в действительной единичке, а на интервале сходится просто по сравнению с прогрессией. И зачем эти круги?
А программа — эксель в самый раз.

[Профессор Снэйп]

Автор не думал, а мы подумаем

Хоть в одной точке границы круга ряд сходится?

[nnosipov]

Профессор Снэйп в сообщении #600813 писал(а):

Хоть в одной точке границы круга ряд сходится?

Шутите?

[Mathusic]

Можно даже обобщить вопрос Профессор Снэйпа:
Сходится ли ряд $\sum\limits^{\infty}_{k=1}{x^{n_{k}}}$ хоть в одной точке границы круга, где $n_k$ - возрастающая последовательность элементов натурального ряда

[Профессор Снэйп]

nnosipov в сообщении #600814 писал(а):

Шутите?

Получается так

А хоть в одной точке границы частичные суммы ряда ограничены?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #600817 писал(а):

Можно даже обобщить вопрос Профессор Снэйпа:
Сходится ли ряд $\sum\limits^{\infty}_{k=1}{x^{n_{k}}}$ хоть в одной точке границы круга, где $n_k$ - возрастающая последовательность элементов натурального ряда

Можно ещё подумать над глубочайшим смыслом формулы

$$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} $$

Ряд расходится в любой точке границы, а частное справа неопределено только при $x = 1$.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #600868 писал(а):

Можно ещё подумать над глубочайшим смыслом формулы

$$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} $$

Да это же школьная прогрессия!

[ewert]

Mathusic в сообщении #600895 писал(а):

Да это же школьная прогрессия!

Но подумать-то можно. Вот и коты так же...

[gris]

Штирлиц подумал. Ему понравилось, и он подумал ещё раз.

На самом деле пример ТС очень красив. У суммы ряда есть замечательное свойство: быть определённой и бесконечно дифференцируемой на интервале $(-1;1)$ и на концах интервала устремляться в бесконечность. И если мы изменим коэффициенты хоть у миллиарда членов ряда, это свойство останется. Разве не удивительно?

И ещё одно свойство: если не обнулять коэффициент при первой степени, то функция будет иметь ещё один ноль (кроме очевидного $x=0$).

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #600895 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #600868 писал(а):

Можно ещё подумать над глубочайшим смыслом формулы

$$ \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} $$

Да это же школьная прогрессия!

Ага! Я вот тоже за справедливость равенства

$$ 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \ldots = \frac{1}{2} $$

[Mathusic]

gris в сообщении #600901 писал(а):

И если мы изменим коэффициенты хоть у миллиарда членов ряда, это свойство останется. Разве не удивительно?

А разве когда-нибудь изменение конечного числа членов ряда влияло на такие совйства?