ВТФ и теорема Птолемея

[ljubarcev]

Someone писал(а):

ljubarcev писал(а):

Но как доказано ( и вы с этим согласились), что должно одновременно, при наличии решения уравнения $x^n+y^n=z^n$ в целых числах, быть $2k$ целочисленных треугольника.

Ну да, могу и ещё раз согласиться: если уравнение $x^n+y^n=z^n$ при нечётном $n>2$ имеет решение в натуральных числах, то существуют $2k=n-1$ целочисленных треугольников со сторонами $x^i$, $y^i$, $z^i$ для натуральных $i<n$

ljubarcev писал(а):

Достаточно доказать, что нет целочисленных треугольников.

Как же их нет, когда вон они перечислены?

ljubarcev писал(а):

Повторяюсь. Именно позтому П. Ферма доказывал и доказал теорему при $n=4$.

Скорее всего, по гораздо более прозаической причине: для других $n>2$ у него доказательства не было. Идеи, которые применялись позже для других показателей, были совершенно чуждыми Ферма, а на тех идеях, которые мог использовать сам Ферма, пока никому никакого доказательства построить не удалось. Кроме $n=4$.

Но мы с Вами толчём воду в ступе. Я Вам указал логическую ошибку в Ваших рассуждениях. Вы поняли, что я имел в виду?

1.Приведенные неравенства доказывают не то, что треугольники существуют, а тот факт, что они при $x^n+y^n=z^n$ они ДОЛЖНЫ существовать. А это разные вещи.
2.На самом деле треугольников нет.
3.Не удалось - не доказывает, что это не возможно.
4.Очем идет речь -понял. Но алгебру логики я осваивал давно, в 1966 году по приглашению даже прочитал для инженеров на одном из предприятий курс лекций по этому предмету
(договор на 42 часа по 2р в час). По сути пока ничего сказать не могу.
Пытаюсь вспомнить и разобраться.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

Ну да, могу и ещё раз согласиться: если уравнение $x^n+y^n=z^n$ при нечётном $n>2$ имеет решение в натуральных числах, то существуют $2k=n-1$ целочисленных треугольников со сторонами $x^i$, $y^i$, $z^i$ для натуральных $i<n$

1.Приведенные неравенства доказывают не то, что треугольники существуют, а тот факт, что они при $x^n+y^n=z^n$ они ДОЛЖНЫ существовать. А это разные вещи.

У меня так и сформулировано: если равенство выполняется, то треугольники существуют. Да я просто повторил Вашу формулировку.

ljubarcev писал(а):

2.На самом деле треугольников нет.

Почему их нет? Точно сформулируйте и докажите утверждение о несуществовании этих треугольников.

ljubarcev писал(а):

3.Не удалось - не доказывает, что это не возможно.

Формально Вы правы. Но реальных надежд на это очень мало. Практически все простые способы доказать теорему элементарными средствами были испробованы за столетия существования проблемы. Сначала в этом участвовали математики, которых мы считаем великими, например, Эйлер, который отличался просто невероятной изобретательностью. А после объявления премии Вольфскеля на проблему накинулись тучи "любителей", которые за истёкшее с того времени столетие истоптали уже абсолютно всё. Поэтому элементарное доказательство, если оно возможно, наверняка будет чрезвычайно сложным. И уж совершенно точно не будет сводиться к комбинированию нескольких простых фигур и применению пары школьных теорем.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

Скорее всего, по гораздо более прозаической причине: для других $n>2$ у него доказательства не было. Идеи, которые применялись позже для других показателей, были совершенно чуждыми Ферма, а на тех идеях, которые мог использовать сам Ферма, пока никому никакого доказательства построить не удалось. Кроме $n=4$.

Но мы с Вами толчём воду в ступе. Я Вам указал логическую ошибку в Ваших рассуждениях. Вы поняли, что я имел в виду?

Как читать.
$A;B:C$… логические переменные (утверждения). $A\Rightarrow B$ – «если $A$, то $B$” или «из $A$ следует $B$»; $\neg$ знак отрицания , $\neg A\Rightarrow \neg B$- читается: «из не $A$, следует не $B$»; $\wedge $ - логическое «и» -конъюнкция; $\vee $- логическое «или»-дизъюнкция.$A\wedge B\Rightarrow C$ – читается: «если $A$ и $B$, то $C$» и т.п.

Известно, что доказать отрицательное утверждение (получить противоречие) путем прямых преобразований невозможно, конечно, если не допускать ошибок в преобразованиях.

Для доказательства отрицательного утверждения, что и имеет место в рассматриваемом случае, необходимо по крайней мере две логические цепочки с выводами в конце, противоречащими друг другу.

Проверим логику доказательства алгеброй.

1. Из A (если $x^n+y^n=z^n)\Rightarrow $ B (то должны существовать $2k$ целочисленных треугольника)$\Rightarrow C$ (то должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольника с рациональными сторонами)$\Rightarrow D$ (среди этих четырехугольников должны быть четырехугольники, у которых сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей)$\Rightarrow E$ (для этих четырехугольников должна существовать описанная окружность).

2. Из C ( должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольников с рациональными сторонами)$\Rightarrow F$ (среди этих четырехугольников нет прямоугольников)$\Rightarrow $ $\neg E$ (вокруг этих четырехугольник невозможно описать окружность).
Так как $E\wedge\neg E$ всегда эквивилентно нулю – это и есть искомое противоречие. Как видно из результата анализа в доказательстве не используется приведенное someone соотношение из $A\Rightarrow B$, не следует из $\neg A\Rightarrow \neg B$.

Дед.

[PAV]

PAV:

Строгое предупреждение. Я уже в этой же теме писал, что не надо обрамлять весь текст своего сообщения тегами math. Тема перемещается в карантин, пока не исправите последнее сообщение. В случае повтора придется применить более жесткие меры.

[PAV]

PAV:

Тема возвращена

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Из A (если $x^n+y^n=z^n)\Rightarrow $ B (то должны существовать $2k$ целочисленных треугольника)$\Rightarrow C$ (то должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольника с рациональными сторонами)$\Rightarrow D$ (среди этих четырехугольников должны быть четырехугольники, у которых сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей)

Обоснуйте последнюю импликацию.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

ljubarcev писал(а):

Из A (если $x^n+y^n=z^n)\Rightarrow $ B (то должны существовать $2k$ целочисленных треугольника)$\Rightarrow C$ (то должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольника с рациональными сторонами)$\Rightarrow D$ (среди этих четырехугольников должны быть четырехугольники, у которых сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей)

Цитата:

Обоснуйте последнюю импликацию.

Уважаемый someone ! Вы выразились очень аккуратно - «обоснуйте». Но ведь если найти доказательство этой импликации – то это и будет доказательством того, что П. Ферма был не прав.
Например, при $n=2$ , когда решения есть и утверждение П. Ферма не действует, мы так же имеем $x+y>z$ и целочисленный четырёхугольник со сторонами $x;y$ и диагоналями $z;d$ , являющийся параллелограммом. Известно, что вокруг параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником и только в последнем случае верна теорема Птолемея, то есть только при этом будет $x\cdot x+y\cdot y=z\cdot d$ (2). Так как в прямоугольнике диагонали равны. то $z=d$ и $x^2+y^2=z^2$. Решение в квадратах возможно. Но ведь в теме доказывается, что при не чётном $n>2$ верно ОБРАТНОЕ.
П. Ферма доказал, что равенство $a^4+b^4=c^4$ не имеет решений в целых числах при любых целых $a;b;c$. Очевидно, оно не имеет решений и при $a=x^n$; $b=y^n$; $c=z^n$, то есть равенство $(x^n)^4+(y^n)^4=(z^n)^4$ так же не имеет решений ни при каких $x;y;z$. Но $(x^n)^4+(y^n)^4=(z^n)^4$ и $(x^4)^n+(y^4)^n=(z^4)^n$
это одно и то же, значит ни при каком $n$ решений тоже нет.
Может всё таки в этом собака зарыта?
Дед.

[bot]

ljubarcev писал(а):

П. Ферма доказал, что равенство $a^4+b^4=c^4$ не имеет решений в целых числах при любых целых $a;b;c$. Очевидно, оно не имеет решений и при $a=x^n$; $b=y^n$; $c=z^n$, то есть равенство $(x^n)^4+(y^n)^4=(z^n)^4$ так же не имеет решений ни при каких $x;y;z$. Но $(x^n)^4+(y^n)^4=(z^n)^4$ и $(x^4)^n+(y^4)^n=(z^4)^n$
это одно и то же, значит ни при каком $n$ решений тоже нет.
Может всё таки в этом собака зарыта?

Очевидным образом это лишь означает, что собака зарыта совсем в другом месте - ну как Вы не можете этого понять?!

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

ljubarcev писал(а):

Из A (если $x^n+y^n=z^n)\Rightarrow $ B (то должны существовать $2k$ целочисленных треугольника)$\Rightarrow C$ (то должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольника с рациональными сторонами)$\Rightarrow D$ (среди этих четырехугольников должны быть четырехугольники, у которых сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей)

Обоснуйте последнюю импликацию.

Уважаемый someone ! Вы выразились очень аккуратно - «обоснуйте». Но ведь если найти доказательство этой импликации – то это и будет доказательством того, что П. Ферма был не прав.

А если Вы эту импликацию не докажете, то у Вас не получится противоречия и, следовательно, не будет доказательства теоремы Ферма. Без неё Ваша цепочка рассуждений обрывается.

[ljubarcev]

bot писал(а):

ljubarcev писал(а):

П. Ферма доказал, что равенство $a^4+b^4=c^4$ не имеет решений в целых числах при любых целых $a;b;c$. Очевидно, оно не имеет решений и при $a=x^n$; $b=y^n$; $c=z^n$, то есть равенство $(x^n)^4+(y^n)^4=(z^n)^4$ так же не имеет решений ни при каких $x;y;z$. Но $(x^n)^4+(y^n)^4=(z^n)^4$ и $(x^4)^n+(y^4)^n=(z^4)^n$
это одно и то же, значит ни при каком $n$ решений тоже нет.
Может всё таки в этом собака зарыта?

Очевидным образом это лишь означает, что собака зарыта совсем в другом месте - ну как Вы не можете этого понять?!

Ничего ещё не очевидно. Просто ВЫ не понимаете сути. Поступаю же я в соотвествии со старинным заветом: "ищите о обрящете, толцытесь и отверзется".
Дед.

Добавлено спустя 1 час 18 минут 17 секунд:

Someone писал(а):

А если Вы эту импликацию не докажете, то у Вас не получится противоречия и, следовательно, не будет доказательства теоремы Ферма. Без неё Ваша цепочка рассуждений обрывается.

Уважаемый someone, Вы никак не прореагировали на моё утверждение о том,что если доказать существование упомянутой импликации в целых числах при $n$ не чётном, то это будет доказательством неверности утверждения Ферма и может быть ключем к нахождению
контрпримера. Если можно, прокоментируйте.
Обосновать упомянутую импликацию конечно можно, так как существует бесконечное количество треугольников и ,следовательно, параллелограммов, для которых применима теорема Птолемея.
Действительно. Если при $n$ не четном имеет место равенство $x^n+y^n=z^n$ при $x<y<z$, то существуют треугольники со сторонами $x^\frac{n}{2};y^\frac{n}{2};z^\frac{n}{2}$. Из двух таких треугольников мы можем построить параллелограмм со сторонами $x^\frac{n}{2};y^\frac{n}{2}$ и диагоналями $z^\frac{n}{2};d$. Для всякого параллелограмма справедлива теорема: сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей. В нашем случае будет $x^n+y^n+x^n+y^n= z^n+d^2$. Так как по предположению $x^n+y^n=z^n$, то должно быть $z^n=d^2$, то есть диагонали будут равными и параллелограмм будет прямоугольником. Вокруг него всегда можно описать окружность и правомерно применение теоремы Птолемея. В нашем случае должно быть $x^\frac{n}{2}\cdot x^\frac{n}{2}+y^\frac{n}{2}\cdot y^\frac{n}{2}=d\cdot z^\frac{n}{2}= z^n$. Очевидно, что при $n$ не чётном числа $x^\frac{n}{2};y^\frac{n}{2};z^\frac{n}{2}$ не целые (иррациональные) и могут быть целыми только и только если сами числа $x;y;z$ являются квадратами. Если же $x=a^2;y=b^2;z=c^2$, то исходное равенство принимает вид $(a^2)^n+(b^2)^n=(c^2)^n$ или $(a^n)^2+(b^n)^2=(c^n)^2$.
Отсюда очевиден вывод: исходное равенство $x^n+y^n=z^n$ не может иметь решений в целых числах при не четном $n$.
Дед.

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

А если Вы эту импликацию не докажете, то у Вас не получится противоречия и, следовательно, не будет доказательства теоремы Ферма. Без неё Ваша цепочка рассуждений обрывается.

Уважаемый someone, Вы никак не прореагировали на моё утверждение о том,что если доказать существование упомянутой импликации в целых числах при $n$ не чётном, то это будет доказательством неверности утверждения Ферма и может быть ключем к нахождению
контрпримера. Если можно, прокоментируйте.

Комментирую: Вы не понимаете собственного доказательства.

ljubarcev писал(а):

Проверим логику доказательства алгеброй.

1. Из A (если $x^n+y^n=z^n)\Rightarrow $ B (то должны существовать $2k$ целочисленных треугольника)$\Rightarrow C$ (то должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольника с рациональными сторонами)$\Rightarrow D$ (среди этих четырехугольников должны быть четырехугольники, у которых сумма произведений противоположных сторон равна произведению диагоналей)$\Rightarrow E$ (для этих четырехугольников должна существовать описанная окружность).

Вот здесь Вы делаете исходное преположение $A$: Для некоторых натуральных чисел $x$, $y$, $z$ выполняется равенство $x^n+y^n=z^n$. И пытаетесь привести его к противоречию путём цепочки рассуждений $A\Rightarrow B\Rightarrow C\Rightarrow D\Rightarrow E$. Здесь уже с самого начала предположено, что решение есть, так что можно этим пользоваться.

Из всех приведённых здесь импликаций одна пока что не доказана: $C\Rightarrow D$. Более того, Вы заявляете, что её и нельзя доказать, так как это, дескать, опровергнет теорему Ферма. Здесь Вы не правы, но это просто показывает, что с логикой у Вас плохо. Поэтому Ваша цепочка в данный момент имеет вид $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ и ещё $D\Rightarrow E$.

ljubarcev писал(а):

2. Из C ( должны существовать $C_{2k}^2$ четырехугольников с рациональными сторонами)$\Rightarrow F$ (среди этих четырехугольников нет прямоугольников)$\Rightarrow $ $\neg E$ (вокруг этих четырехугольник невозможно описать окружность).
Так как $E\wedge\neg E$ всегда эквивилентно нулю – это и есть искомое противоречие.

Здесь также прокол, на который я не обратил внимания: $F\not\Rightarrow\neg E$, поскольку окружность можно описать не только около прямоугольника. Правда, как я Вам объяснял, возможность описать окружность не имеет никакого отношения к теореме Ферма.

В итоге всё, что у Вас есть - это последовательность импликаций $A\Rightarrow B\Rightarrow C\Rightarrow F$ и $D\Rightarrow E$. Ни малейшего намёка на противоречие здесь нет.

ljubarcev писал(а):

Обосновать упомянутую импликацию конечно можно, так как существует бесконечное количество треугольников и ,следовательно, параллелограммов, для которых применима теорема Птолемея.

Так можно или нельзя? Вы в разных местах делаете противоречащие друг другу заявления.

ljubarcev писал(а):

Очевидно, что при $n$ не чётном числа $x^\frac{n}{2};y^\frac{n}{2};z^\frac{n}{2}$ не целые (иррациональные) и могут быть целыми только и только если сами числа $x;y;z$ являются квадратами.

А с какой бы стати им быть квадратами? Теорема Ферма этого не требует. А последующее рассуждение вообще непонятно на чём основано:

ljubarcev писал(а):

Если же $x=a^2;y=b^2;z=c^2$, то исходное равенство принимает вид $(a^2)^n+(b^2)^n=(c^2)^n$ или $(a^n)^2+(b^n)^2=(c^n)^2$.
Отсюда очевиден вывод: исходное равенство $x^n+y^n=z^n$ не может иметь решений в целых числах при не четном $n$.

Но мы толчём воду в ступе.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

Комментирую: Вы не понимаете собственного доказательства.

Что я понимаю.
1. Если существует равенство $x^n+y^n=z^n$ при простом не чётном $n=2k+1$, то должны существовать $2k$ целочисленных треугольника.
2.Среди этих треугольников нет прямоугольных, так как $x^2+y^2>z^2;x^4+y^4>z^4;\cdots x^{2k}+y^{2k}>z^{2k}$.
3.Из этих треугольников мы можем построить $3\cdot C_{2k}^2$ четырёхугольника с рациональными сторонами, которые не могут быть параллелограммами, так как у них нет равных сторон. Множитель $3$ появился, так как привести любую пару треугольников к рациональному виду, когда одна сторона становится равной $1$ можно тремя способами.
4. Вокруг этих четырехугольников невозможно описать окружность.
5. Существует (в принципе) много четырехугольников, составленных из не прямоугольных треугольников, вокруг которых можно описать окружность и для которых справедлива теорема Птолемея, так как очевидно, что исходному равенству удовлетворяет бесчисленное количество троек иррациональных чисел $x;y;z$. Но это не то, что нам надо.
6. Должны существовать $3\cdot C_{2k}^2$ параллелограмма с целочисленными сторонами. Их мы можем всегда построить, взяв два из приведенных одинаковых треугольника и складывая равными сторонами.Так как треугольники не прямоугольные, то мы не можем получить прямоугольника, поэтому описать вокруг них так же невозможно описать окружность. Три параллелограмма, построенные из двух одинаковых треугольников, обладают свойством – для них при любом $k$ справедливы одновременно равенства: $2x^{2k}+2y^{2k}=z^{2k}+a^2$; $2x^{2k}+2z^{2k}=y^{2k}+b^2$; $2z^{2k}+2y^{2k}=x^{2k}+c^2$. При целых $x:y;z$ числа $a^2;b^2;c^2$ - целые, Целые ли $a;b;c$ ?. Проверка перебором показывает, что нет. Даже при $n=2$ , только $a^2=z^2$ и $a=z$ целое, числа $b^2;c^2$ - целые, но не квадраты. Понимаю, это ничего не доказывает. Из приведенных трёх равенств следует: $3(x^{2k}+y^{2k}+z^{2k})=a^2+b^2+c^2$.
Дед.

[ljubarcev]

ljubarcev писал(а):

Someone писал(а):

Комментирую: Вы не понимаете собственного доказательства.

7. Должны существовать $3\cdot 2k$ равнобоких трапеции. Взяв два одинаковых из упомянутых треугольников всегда можно построить три равнобоких трапеции, вокруг которых всегда можно описать окружность, центр которой будет находиться в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин боковых сторон, . В этих случаях применима теорема Птолемея и должны иметь одновременно решения в целых числах при любом $k$ равенства: $x^{2k}+z^kd_k=y^{2k)$; $x^{2k}+y^ke_k=z^{2k}$; $y^{2k}+xf_k=z^{2k}$.
где $x;y;z$ стороны треугольника, $d_k;e_k;f_k$ - основания трапеций.
При целых $x;y;z$ числа $d_k;e_k;f_k$, должны быть рациональными.

8. Рассмотрим случай, когда тройка чисел $x;y;z$ удовлетворяет равенству $x^n+y^n=z^n$ при $n=2k+1$. При этом $x+y>z$; $x^2+y^2>z^2$; $x$ и $z-y$ имеют наибольший общий делитель $p$.
Из $y^2+fx=z^2$ ясно, что при $f=x$, трапеция преобразуется в прямоугольник и получается давно известное $y^2+x^2=z^2$. В нашем же случае $fpx_1=p(z-y)_1(z+y)$;

$$f=\frac{(z-y)_1(z+y)}{x_1}$$

и ясно, что $f$ не целое, так как $x_1$ и $z+y$ взаимно просты с $(z-y)_1$.

Дед

[Someone]

ljubarcev писал(а):

Должны существовать $3\cdot 2k$ равнобоких трапеции. Взяв два одинаковых из упомянутых треугольников всегда можно построить три равнобоких трапеции

Трапецию определяем как выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Диагональ равнобедренной трапеции разбивает её на неравные треугольники.

[ljubarcev]

Someone писал(а):

ljubarcev писал(а):

Должны существовать $3\cdot 2k$ равнобоких трапеции. Взяв два одинаковых из упомянутых треугольников всегда можно построить три равнобоких трапеции

Трапецию определяем как выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Диагональ равнобедренной трапеции разбивает её на неравные треугольники.

Уважаемый someone ! В общем случае Вы правы. В рассматриваемом мною случае, когда треугольники одинаковы. мы можем построить три равнобоких трапеции. Убедиться в этом можно, выолнив примитивные действия. Я вырезал из бумаги два одинаковых треугольника и накладывая их друг на друга так чтобы совпали основания (например $z$) и располагая одинаковые стороны (например $x$) дру против друга. Соединив вершины треугольников получим второе основание. Оно будет параллельно первому выбранному основанию, так как высоты треугольников одинаковы - то есть это будет именно равнобокая трапеция, у которой диагонали будут равными (в данном случае выбора $y$). Так что в этой части утверждения пункта 7 верны.
Дед.