Куммер. БТФ для показателя 3. Второй случай

[Коровьев]

Раз появилось в разделе реальное доказательство, неплохо бы собрать здесь известные доказательства, "влезающих" в формат раздела. Впрочем, я знаю только два доказательства второго случая - Эйлера и Куммера. Но идеи, заложенные у них в доказательствах разные. Если у Эйлера заложена идея спуска по величине слагаемых уравнения Ферма, то у Куммера доказательство основано на идее спуска по величине показателя $ n $, входящего в одно из слагаемых уравнения Ферма.
К тому же, у Куммера доказательство второго случая БТФ дано для всех регулярных простых чисел. Доказательство автоматически включает и показатель $ 3 $, поскольку $3$ является регулярным простым числом.
Доказательство весьма сложно, главным образом из-за дополнительных лемм и разработанного Куммером аппарата - теории дивизоров(делителей).
Но для показателя $3$ ничего из этого не надо и оно вполне может быть опубликовано на форуме. Наверно, где-то оно есть, но иногда найти что-то сложнее, чем самому сделать. Посему я взял на себя смелость "перевести" Куммера на показатель $3$ .
Общие сведения.
Рассмотрим кольцо целых алгебраических чисел $A + B\varepsilon $ с целыми $A , B$, где
$\varepsilon = e^{i\frac{{2\pi }}{3}} = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2},\varepsilon ^3 = 1,\varepsilon ^2 + \varepsilon + 1 = 0$
1)Кольцо евклидово по норме, и поэтому разложение на простые множители в нём однозначно. См. к примеру: Постников "Теорема ферма"
1)В этом кольце все единицы (делители единицы) исчерпываются
$ \pm 1, \pm \varepsilon , \pm \varepsilon ^2 $
2)Имеем разложение
$3 = - \varepsilon ^2 \left( {1 - \varepsilon } \right)^2 $
где $\left( {1 - \varepsilon } \right)$ - простое число кольца, так как его норма простое число.
3)Возьмём целые числа кольца
$\left( {\alpha + \beta } \right),\left( {\alpha + \varepsilon \beta } \right),\left( {\alpha + \varepsilon ^2 \beta } \right)$
где ${\alpha ,\beta }$ взаимно простые числа кольца, не деляшиеся на ${1 - \varepsilon }$.
Рассмотрим тождество
$\alpha + \varepsilon \beta = \left( {\alpha + \beta } \right) - \left( {1 - \varepsilon } \right)\beta $
Если ${\alpha + \beta }$ делится на
${1 - \varepsilon }$, то и $\alpha + \varepsilon \beta $ на него делится и наоборот. Тоже самое и для любой пары.
Из тождества также видно, что оба числа не могут одновременно делиться на ${1 - \varepsilon }$ в степени больше единицы. Тоже самое и для любой пары. Любая пара не может иметь других общих делителей, кроме как ${1 - \varepsilon }$.
====
Доказательство Куммера второго случая БТФ $при n=3$
Пусть существуют взаимно простые целые $x,y,z$ такие что
$x^3 + y^3 = \left( {3^t z} \right)^3 $
и $z$ не делится на $3$
Имеем
$x^3 + y^3 = \left( {3^t z} \right)^3 = \left( { - \varepsilon ^2 \left( {1 - \varepsilon } \right)^2 } \right)^{3t} z^3 = \pm \left[ {\left( {1 - \varepsilon } \right)^3 } \right]^{2t} z^3 $
Куммер расширил доказательство для всего рассматриваемого кольца целых алгебраических чисел. Разумеется и целые числа входят в него.
Выберем в данном кольце взаимно простые числа удовлетворяющие соотношению
$\alpha ^3 + \beta ^3 = \left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k} \gamma ^3 $
где $\gamma $ не делится на ${1 - \varepsilon } $, а $k$ минимально и не рано единице.
Далее
$\left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k} \gamma ^3 = \alpha ^3 + \beta ^3 = \left( {\alpha + \beta } \right)\left( {\alpha + \varepsilon \beta } \right)\left( {\alpha + \varepsilon ^2 \beta } \right)$
Из пункта 3 Общих сведений следует, что все три множителя делятся на ${1 - \varepsilon } $, причём два на ${1 - \varepsilon } $ в первой степени. Какие не принципиально. Пусть два последних.
Попарно других делителей не имеют.
Так как разложение в этои кольце однозначно, то имеем
$\alpha + \varepsilon \beta = \varepsilon ^n \left( {1 - \varepsilon } \right)\xi ^3 $

$\alpha + \varepsilon ^2 \beta = \varepsilon ^m \left( {1 - \varepsilon } \right)\psi ^3 $

$\alpha + \beta = \varepsilon ^{ - m - n} \left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k - 2} \omega ^3 $

В тождество
$\alpha + \beta = - \varepsilon \left( {\alpha + \varepsilon \beta } \right) - \varepsilon ^2 \left( {\alpha + \varepsilon ^2 \beta } \right)$
вставим полученные выражения
$\varepsilon ^{ - m - n} \left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k - 2} \omega ^3 = - \varepsilon ^{n + 1} \left( {1 - \varepsilon } \right)\xi ^3 - \varepsilon ^{m + 2} \left( {1 - \varepsilon } \right)\psi ^3 $
Преобразуем
$\varepsilon ^{ - m - 2n - 1} \left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k - 3} \omega ^3 = - \xi ^3 - \varepsilon ^{m - n + 1} \psi ^3 $
Так как
$\left( {2n + m + 1} \right) + \left( {2m + n + 2} \right) \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)$
то обозначив $2n + m + 1$ через $d$ получим
$\left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k - 3} \omega ^3 = - \varepsilon ^d \xi ^3 - \varepsilon ^{ - d} \psi ^3 $
Далее
$\varepsilon ^d \left( {1 - \varepsilon } \right)^{3k - 3} \omega ^3 = - \varepsilon ^{2d} \xi ^3 - \psi ^3 = \left( {1 - \varepsilon ^{2d} } \right)\xi ^3 - \left( {\xi ^3 + \psi ^3 } \right)$
Отсюда следует, что ${\xi ^3 + \psi ^3 }$ делится на ${1 - \varepsilon }$
Но тогда согласно п.3 общих сведений ${\xi ^3 + \psi ^3 }$ делится и на $({1 - \varepsilon })^3$. Левая часть равенства тоже делится как минимум на $({1 - \varepsilon })^3$. А это может быть только когда
$1 - \varepsilon ^{2d} = 0$
Откуда
$ d \equiv 0\left( {\bmod 3} \right)$
И окончательно получим
$\left( {1 - \varepsilon } \right)^3 ^{\left( {k - 1} \right)} \omega ^3 = \left( { - \xi } \right)^3 + \left( { - \psi } \right)^3$
И мы получили равенство, соответствующее исходному, но с показателем на единицу меньшим. А это противоречит условию, что изначально показатель был выбран минимальным и, следовательно, исходное соотношение не может быть выполнено для всех алгебраических целых чисел данного кольца, в которое входят и просто целые числа.
"Перевод" сделан по книге Боревича, Шаферевича "Теория чисел" .

[nnosipov]

Это доказательство изложено в книге: Олиапиады. Алгебра. Комбинаторика (под ред. Савельева Л.Я.). Новосибирск: Наука, 1979. (см. 3-й параграф статьи Ю.Н. Мальцева "Основная теорема арифметики").