Две плиты

[dovlato]

Две тяжёлые гравитирующие плиты соприкасаются поверхностями в невесомости, притягиваясь друг к другу.
Поверхностные плотности массы плит постоянны и равны $\sigma_1$ и $\sigma_2$. Найти давление, испытываемое плитами.

[mihiv]

С помощью теоремы Гаусса получим:

$$p=2\pi G\sigma _1\sigma _2$$

[dovlato]

Верно. Почему-то в школе т. Гаусса вспоминают только в задачах электростатики.

[Omega]

dovlato, проверьте пожалуйста правильность моего решения.
По теореме Гаусса для ньютоновской гравитации имеем:

$$\oint\limits_S\\\vec{g}\\ \vec{dS}=-4\pi G M;\vec{g}=-\dfrac{GM}{l^{2}} \Rightarrow l^{2}=\dfrac{S}{4\pi};$$

$\vec{g}$- напряжённость гравитационного поля; $S$ - площадь поверхности плиты, которой она соприкасается с другой; $l$ - расстояние между центрами масс плит. Сила притяжения между плитами:

$$F=\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{l^{2}};m_{1}=\sigma_{1}S;m_{2}=\sigma_{2}S;$$

Давление испытываемое каждой из плит равно

$$p=\dfrac{F}{2S}=\dfrac{4\pi G \sigma_{1}S \sigma_{2}S}{2S^{2}}=2\pi G \sigma_{1} \sigma_{2}.$$

[dovlato]

Формулы для $\vec{g}$ и для силы $F$ в данном случае неверны: они действуют только для тел либо точечных, либо имеющих шаровую симметрию.
Величина ускорения свободного падения на первую плиту $g_1$ находится в данном случае в результате решения ур-ния (ф. Гаусса)

$$g_1\cdot 2S=4\pi G\cdot M_1$$

Здесь $ M_1=\sigma_1\cdot S$. В левой части - полный поток поля 1й плиты.
Следовательно, сила $F=g_1 \sigma_2 S$, и после деления её на $S$ получается тот самый результат.

[Omega]

Спасибо.