Несколько задач по электрике.

[obar]

1) Имеется $N$ заряженных проводников с зарядами $q_i$ такими, что $\sum q_i>0$. Доказать, что всегда найдется такой проводник, у которого поверхностная плотность заряда всюду неотрицательна.

2) Имеется несколько изолированных заряженных проводников. Потенциал одного из них $\varphi_1$. Когда заряды всех остальных тел изменили на противоположные, то потенциал первого проводника стал равным нулю. Каким станет потенциал этого проводника, если его заряд теперь увеличить в $n$ раз?

3) Найти электрическое сопротивление $N$-мерного проволочного куба между вершинами его главной диагонали. Сопротивление каждого ребра =1.

4) Плоский конденсатор заряжен до заряда $q$. Одну из пластин заземляют. Найти величину заряда на этой пластине. Пластины конденсатора имеют форму круга радиуса $R$. Расстояние между обкладками $d\ll R$.

[dovlato]

Во 2й задаче, пользуясь одной лишь линейностью связи потенциала 1-го тела со всеми зарядами, получаем, что что $\varphi(n)=\frac{n+1}{2}\varphi_1$.
В 4й задаче, мне кажется, заземлённая обкладка должна остаться с зарядом -q, если заряд не заземлённой обкладки равен +q. Довод тот, что энергия поля должна стать минимально возможной, а только при взаимно противоположных зарядах всё поле останется между пластинами.

[Shtorm]

obar в сообщении #598646 писал(а):

3) Найти электрическое сопротивление $N$-мерного проволочного куба между вершинами его главной диагонали. Сопротивление каждого ребра =1.

Если кубик 2-мерный, то придётся искать сопротивление двух параллельно включенных резисторов. Причём сопротивление каждого резистора равно 2. Если 3-мерный кубик, то придётся искать сопротивление 6 параллельных резисторов и сопротивление каждого резистора равно 3. А для $N$-мерного? Получается $N!$ резисторов параллельных и сопротивление кадого резистора равно $N$???

[Munin]

Shtorm в сообщении #598790 писал(а):

Если 3-мерный кубик, то придётся искать сопротивление 6 параллельных резисторов и сопротивление каждого резистора равно 3.

Неверно.

[EtCetera]

obar в сообщении #598646 писал(а):

3) Найти электрическое сопротивление $N$-мерного проволочного куба между вершинами его главной диагонали. Сопротивление каждого ребра =1.

Пусть оси системы координат параллельны (соответствующим) ребрам куба. Тогда вершины $n$-мерного куба имеют координаты $(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$, где $x_i\in\{0,1\}$ ($0\le i < n$). Спроецируем вершины куба на главную диагональ. Проекции вершин будут отстоять от начала координат на расстояния $\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=0}^{n-1} x_i$. Всего имеем $n+1$ различных значений этих расстояний, т.о. проекции вершин куба на главную диагональ образовывают $n+1$ групп точек. Так как две вершины куба, соединенные ребром, имеют только одну различную координату, то расстояние между их проекциями на главную диагональ равно $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, поэтому ребрами соединяются вершины, чьи проекции на главную диагональ лежат в двух соседних группах точек. Сжав наш проволочный куб так, чтобы вершины куба совпали с их проекциями на главную диагональ, получим эквивалентную схему. Тогда искомое сопротивление будет равно сумме сопротивлений между соседними группами точек.
Количество точек в каждой группе обозначим $a_i^{(n)}$ ($0\le i\le n$, $n\ge0$). Очевидны следующие соотношения:
$\left\{\begin{array}{l}a_0^{(0)}=1 \\ a_0^{(n)}=a_0^{(n-1)} \\ a_i^{(n)}=a_i^{(n-1)}+a_{i-1}^{(n-1)},\quad 0<i<n \\ a_{n}^{(n)}=a_{n-1}^{(n-1)} \end{array}\right.$
Получаем $a_i^{(n)}=\binom{n}{i}$.
Количество отрезков проволоки сопротивлением 1 Ом (ребер) между группами с номерами $i$ и $i+1$ обозначим $b_i^{(n)}$ ($0\le i<n$, $n>0$). Здесь имеем следующие соотношения:
$\left\{\begin{array}{l}b_0^{(1)}=1 \\ b_0^{(n)}=b_0^{(n-1)}+1 \\ b_i^{(n)}=b_i^{(n-1)}+a_{i}^{(n-1)}+b_{i-1}^{(n-1)},\quad 0<i<n-1 \\ b_{n-1}^{(n)}=b_{n-2}^{(n-1)}+1 \end{array}\right.$
Получаем $b_i^{(n)}=n\binom{n-1}{i}$.
Искомое сопротивление равно $R^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{b_i^{(n)}}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n-1}{i}}$. Не знаю, можно ли отсюда вывести формулу в замкнутом виде.
В следующей табличке представлены значения $R^{(n)}$ для небольших $n$:
$\begin{array}{c|c}n & R^{(n)}\\[2pt] \hline 1 & 1\\[2pt] 2 & 1\\[2pt] 3 & \frac{5}{6}\\[2pt] 4 & \frac{2}{3}\\[2pt] 5 & \frac{8}{15}\\[2pt] 6 & \frac{13}{30}\end{array}$

[Shtorm]

EtCetera в сообщении #598952 писал(а):

Пусть оси системы координат параллельны (соответствующим) ребрам куба. Тогда вершины $n$-мерного куба имеют координаты $(x_0, x_1, \ldots, x_n)$,....

Получается, что количество координат вершины - больше размерности самого кубика? У 3-мерного кубика 4 координаты вершины?

[EtCetera]

Shtorm

Shtorm в сообщении #598958 писал(а):

EtCetera в сообщении #598952 писал(а):

Пусть оси системы координат параллельны (соответствующим) ребрам куба. Тогда вершины $n$-мерного куба имеют координаты $(x_0, x_1, \ldots, x_n)$,....

Получается, что количество координат вершины - больше размерности самого кубика? У 3-мерного кубика 4 координаты вершины?

Поправил, спасибо. Однако эта досадная описка на результат не влияет.

[dovlato]

Авантюрный подход к решению 3й задачи. Когда ток входит в вершину первый раз, он разветвляется на $n$ рёбер, по каждому из которых пойдёт одинаковый ток, равный $I/n$. Далее произойдёт разветвление каждого "вторичного" тока ещё на $n-1$ одинаковых токов.. Что дальше? Дальше, ес-нно, соображение симметрии: когда-нибудь эти токи начнут наоборот, собираться, и в силу симметрии все количества таких "собранных" токов будут зеркально подобны предыдущим расщеплённым. Итак, смотрим, начиная с $n=2$.

$$n=2; 2+2... 2(1+t)$$

$$n=3; 3+6+3... 3(1+2t+t^2)$$

Далее, я тут получил для себя формулу числа рёбер $p_n=n\cdot 2^{n-1}$.
Отсюда, например, следует, что $p_3=3\cdot 2^2=12; p_4=4\cdot 2^3=32; p_5=5\cdot 2^4=80$.
Продолжая аналогично, получаем, что выражение

$$f_n(t)=n(1+t)^{n-1}$$

является производящей функцией для числа расщеплённых и собранных токов. То-есть

$$m_n(k)=nC_{n-1}^{k}$$

Откуда искомое сопротивление проволочного кубика равно

$$R=\frac1{n} \cdot \left(1+\frac1{C_{n-1}^{1}}+\frac1{C_{n-1}^{2}}+...+\frac1{C_{n-1}^{n-2}}+1 \right)$$

То-есть совпадает с ранее полученным результатом et cetera.

[obar]

К 3-й задаче ответ правильный.

dovlato, проверьте еше раз ответ ко второй. К последней ваш задаче ответ неверен. Заряд на обкладке изменится (потенциал же меняется), но относительное изменение заряда мало: $\sim d/R$. Нужно найти изменение заряда с точностью до величин первого порядка по $d/R$.

[Shtorm]

EtCetera в сообщении #598952 писал(а):

... Сжав наш проволочный куб так, чтобы вершины куба совпали с их проекциями на главную диагональ, получим эквивалентную схему. Тогда искомое сопротивление будет равно сумме сопротивлений между соседними группами точек....

Когда мы сжимаем таким образом куб, то рёбра подвергаются, условно говоря пластической деформации? То есть их длины уменьшаются и становятся равными длине проекции, а диаметр ребра увеличивается. В итоге сопротивление каждого деформированного ребра остаётся постоянным и равным единице? Правильно я понимаю?

[Someone]

Shtorm в сообщении #599428 писал(а):

Когда мы сжимаем таким образом куб, то рёбра подвергаются, условно говоря пластической деформации?

Неправильно. Никакой деформации они не подвергаются, считайте, что "сжав" - это просто неудачное наглядное описание. На самом деле нужно эквипотенциальные вершины закоротить проводником с нулевым сопротивлением. Или изогнуть их проводники так, чтобы эквипотенциальные вершины куба совместились.

Shtorm в сообщении #599428 писал(а):

То есть их длины уменьшаются и становятся равными длине проекции, а диаметр ребра увеличивается. В итоге сопротивление каждого деформированного ребра остаётся постоянным и равным единице? Правильно я понимаю?

Неправильно. Вы школьную формулу сопротивления проводника не помните? $r=\frac{\rho l}S$, где $r$ - сопротивление проводника, $l$ - его длина, $S$ - площадь поперечного сечения, а $\rho$ - удельное сопротивление, которое зависит от материала проводника. Если в результате сжатия проводник стал короче в $\sqrt n$ раз, и свойства материала при этом не изменились, то площадь поперечного сечения увеличилась в те же $\sqrt n$ раз, а сопротивление при этом уменьшается в $n$ раз.

[obar]

EtCetera в сообщении #598952 писал(а):

Не знаю, можно ли отсюда вывести формулу в замкнутом виде.

Ответ к 3-й задаче можно представить еще и в таком, удобном для вычислений виде

$$R_N=\frac1{2^N}\sum_{k=1}^{N}\frac{2^k}{k}\,.$$

В частности, при больших $N$

$$R_N=\frac2{N}+O(1/N^2)\,.$$

[Shtorm]

Someone, спасибо за объяснение.

[Ilia_]

obar в сообщении #598646 писал(а):

2) Имеется несколько изолированных заряженных проводников. Потенциал одного из них $\varphi_1$. Когда заряды всех остальных тел изменили на противоположные, то потенциал первого проводника стал равным нулю. Каким станет потенциал этого проводника, если его заряд теперь увеличить в $n$ раз?

Воспроизведу вычисления dovlato. Потенциал на данном проводнике зависит от зарядов всех остальных проводников линейно, то есть $\varphi_i=\Sigma_j C^{-1}_{ij} q_j$. Если я правильно понял условие, у нас есть три ситуации: заряды $(q_1,q_2,..,q_N)$, $(q_1,-q_2,..,-q_N)$, $(n\cdot q_1,-q_2,..,-q_N)$. Распишем потенциалы:

$$\varphi_1=C^{-1}_{11}q_1+\Sigma_{i=2}^{N}C^{-1}_{1i}q_i$$

$$0=C^{-1}_{11}q_1-\Sigma\limits_{i=2}^{N}C^{-1}_{1i}q_i$$

$$\varphi(n)=n\cdot C^{-1}_{11}q_1-\Sigma_{i=2}^{N}C^{-1}_{1i}q_i$$

Вычтя и сложив первое равенство со вторым, получим:

$$\Sigma_{i=2}^{N}C^{-1}_{1i}q_i=\varphi_1/2$$

$$C^{-1}_{11}q_1=\varphi_1/2$$

Итого:

$$\varphi(n)=\frac{n-1}{2}\varphi_1$$

dovlato, скорее всего, в качестве третьей ситуации взял $(n\cdot q_1,q_2,..,q_N)$, из-за чего obar и попросил его проверить выкладки. Хотя возможно решение и без выкладок вообще, исходя только из факта линейной зависимости $\varphi(n)$ от $n$. Из второй ситуации имеем $\varphi(1)=0$, а из первой, домножив все заряды и потенциалы на $-1$, получаем $\varphi(-1)=-\varphi_1$.