Превращение чисел

[Ktina]

С натуральным числом разрешается производить следующую операцию: выбрать любую цифру десятичной записи этого числа и прибавить или отнять её (например, из числа 69 можно таким образом получить 63, 75, 60 или 78).

Верно ли, что из любого натурального числа можно с помощью конечного числа таких операций получить любое натуральное число, превышающее 8?

[Профессор Снэйп]

Ktina в сообщении #598652 писал(а):

Верно ли, что из любого натурального числа можно с помощью конечного числа таких операций получить любое натуральное число, превышающее 8?

Ну, если ноль натуральным числом не считать, то да. Выбирай каждый раз любую ненулевую цифру и прибавляй до опупения!

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #598655 писал(а):

Ktina в сообщении #598652 писал(а):

Верно ли, что из любого натурального числа можно с помощью конечного числа таких операций получить любое натуральное число, превышающее 8?

Ну, если ноль натуральным числом не считать, то да. Выбирай каждый раз любую ненулевую цифру и прибавляй до опупения!

Да?
Попробуйте из 2012 получить 97.

[Профессор Снэйп]

Ktina в сообщении #598662 писал(а):

Да?
Попробуйте из 2012 получить 97.

Я условие задачи неправильно понял. Думал, Вы хотели получить какое-нибудь число $> 8$. "Любое" в смысле неважно какое, лишь бы какое-нибудь. А у Вас "любое" в смысле "каждое".

[gris]

Ну из числа, состоящего только из чётных цифр, можно получить только чётное число. Вероятно, и с другими кратностями тоже что-нибудь подобное.
+++ Да, это только в самом начале. Пардон

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #598675 писал(а):

Я условие задачи неправильно понял.

Нет, это я с обиняками написала.

$$\forall m, n\in\mathbb N, \quad n>8$$

можно из $m$ получить $n$

-- 24.07.2012, 16:26 --

gris в сообщении #598679 писал(а):

Ну из числа, состоящего только из чётных цифр, можно получить только чётное число.

Это только на первой итерации.

[Профессор Снэйп]

Ну, можно всегда начать с отнимания и отнимать до тех пор, пока не получим $9$. Если, конечно, начальное число было $> 9$. В противном случае поприбавляям, пока не получится $> 9$, а потом снова поотнимаем. Итого придём к $9$.

Значит, задачу можно сформулировать так: можно ли из числа $9$ получить каждое число $> 8$.

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #598697 писал(а):

Ну, можно всегда начать с отнимания и отнимать до тех пор, пока не получим $9$. Если, конечно, начальное число было $> 9$. В противном случае поприбавляям, пока не получится $> 9$, а потом снова поотнимаем. Итого придём к $9$.

Значит, задачу можно сформулировать так: можно ли из числа $9$ получить каждое число $> 8$.

Совершенно верно.
Поскольку при каждой итерации число меняется не более, чем на 9, перескока через десятки не будет. Значит, из произвольно большого натурального числа можно рано или поздно получить

$$\dots \overline{1a}\to 10\to 9$$

[Профессор Снэйп]

Все число до 30 точно можно получить... Далее перебирать просто неохота. Лучше попробовать прицип найти.

[TOTAL]

Вот простой принцип:
Чтобы уменьшить число на 1, надо несколько раз прибавить цифру десяток (или сотен, т.е. ненулевую), затем столько же раз отнять. Если эта цифра равна 9, то сначала отнять, затем прибавить.