Коллоквиум: Нелинейные пространства

[AlexDem]

Под коллоквиумом я буду понимать тему, где даются общие ответы (ОО) на частные вопросы (ЧВ). Приглашаются все желающие позадавать вопросы или поотвечать на них


В данной теме хотелось бы рассмотреть вопросы, касающиеся нелинейности вообще и нелинейных пространств в частности. В первой главе книги Хелгасон "Дифференциальная геометрия и симметрические пространства" сказано следующее:

Цитата:

Если лишить евклидово пространство структуры векторного пространства и оставить только его дифференцируемую структуру, то существует много способов гладкого соединения его областей друг с другом, при помощи которых получаются так называемые дифференцируемые многообразия.

Что-то как-то не получается отделить скелет от пространства... Помогите препарировать!


ЧВ-I) На развитие интуиции: как выглядят решения нелинейных диффуравнений, чем полученная функция визуально отличается от полученной в результате решения линейных диффуравнений? Обычно при нелинейности сразу вводят фазовое пространство и точки бифуркации, что несколько мешает сравнивать. Ну вот например - гравитационное поле может быть нелинейным из-за самодействия. Вот чем отличается картина силовых линий нелинейного поля от линейного? Будут какие-нибудь особенности? Или как?.. Вот про волны на воде, например, знаю - когда на них образуются барашки, это уже работает нелинейность, на графике это выражается в образовании петель на верхушках "синусоиды".


ЧВ-II) Собственно про препарацию: наверное, сперва нужно построить иерархию пространств по сложности их структур? У меня сложилось мнение, что метрика - только способ задания топологии пространства. Но что делает это пространство линейным? Или линейность заложена в правиле треугольника, налагаемом на метрику? Кроме того, тут еще и аффинные пространства побегали, с присоединённым векторным пространством без нормы... В общем, хотелось бы разобраться. Я начну строить, а мне может кто подскажет, где я ошибся, что пропустил, и на каком шаге появляется линейность... Итак:

1) Берём множество $M$ каких-то объектов, пусть оно будет мощности $|M| = c$.
2) Чтобы различать объекты, поставим каждому из них в соответствие число из множества $\mathbb R$ вещественных чисел.
3) Каждой паре $M \times M$ произвольным образом поставим в соответствие вещественное число из $\mathbb R$, назовём его расстоянием $\rho$.
4) Построим топологию по окрестностям $\rho < R$.

Если я верно понимаю, никакого линейного пространства в результате мы не получим? Чтобы оно получилось, нужно ещё:
5) Определить присоединённое векторное пространство $V$ - в данном случае достаточно ввести операции "+" и "*" на множестве $\mathbb R$ и обеспечить выполнение аксиом векторного пространства.
6) Ввести на этом пространстве $\mathbb R$ норму, и переопределить метрику, введённую ранее на шаге 3 через данную норму.

Теперь вроде должно получиться линейное топологическое пространство? А вот ещё непонятно, если мы не будем делать шага 6, то как повлияет шаг 5 на конечное пространство, что в нём будет такого, что не было в пространстве, полученном на шаге 4?

Да, и главный вопрос - как всё-таки убрать линейную структуру из евклидова пространства, убрать норму? Какое пространство тогда получим - аффинное?

Надеюсь, не запутал сильно вопрос...

[Bod]

Понятие линейности пространства полностью определяется свойствами введенных операций, таким образом понятие линейности можно ввести уже после первого пункта. Введение же остальных структур, таких как метрика, не является необходимым. (Как мне кажется )

Цитата:

На развитие интуиции: как выглядят решения нелинейных диффуравнений, чем полученная функция визуально отличается от полученной в результате решения линейных диффуравнений?

Что же касается особой роли линейных пространств, так это мне кажется несколько надуманным. Просто люди хорошо исследовали свойства определенного типа объектов , которые мы и называем линейными. Но особенности поведения действительно есть и самые важные, на мой взгляд следующие:
1)неспособность совершать устойчивые движения (не в том смысле в котором вводит Ляпунов, а в смысле отсутствия возможности совершать ими циклические движения) в фазовом пространстве. Правильнее было бы сказать что такое невозможно на практике, так как в теории это конечно же возможно.
2)Принцип суперпозиции и как следствие того неспособность порождать новые гармонические составляющие.
Я думаю, что вы это знаете куда лучше меня так что особо подробно рассматривать нет смысла.

Цитата:

Да, и главный вопрос - как всё-таки убрать линейную структуру из евклидова пространства, убрать норму?

Убрать операции, или ввести вместо них другие которые не будут удовлетворять поставленным требованиям. А норма на свойствах линейности ни как не отражается.

[AlexDem]

Bod писал(а):

Убрать операции, или ввести вместо них другие которые не будут удовлетворять поставленным требованиям. А норма на свойствах линейности ни как не отражается.

Просто у нормы есть одна аксиома: $||\alpha f|| = |\alpha| \cdot ||f||$, а в недавно рассмотренном контрпримере с вложенными шарами большего радиуса говорилось, что его нельзя построить ни в каком нормированном векторном пространстве, поскольку в нём радиус любого шара равен половине его диаметра. Вот и хотелось бы выяснить, какая из аксиом нормы или векторного пространства этому мешает. По-моему, это - та самая.

Bod писал(а):

Понятие линейности пространства полностью определяется свойствами введенных операций, таким образом понятие линейности можно ввести уже после первого пункта. Введение же остальных структур, таких как метрика, не является необходимым. (Как мне кажется )

Возможно, здесь возникло разночтение, поскольку есть такое понятие как топологическое линейное пространство. Может зайти с другой стороны - определить, какими типами структур может характеризоваться пространство, а затем - взаимоотношения между ними. Пока я вижу три типа структур:

алгебраическая - задаётся введёнными операциями;
топологическая - задаётся понятием близости точек;
дифференциальная - ??? (непонятно чем задаётся, и что это за структура).

И если соотношение между топологической и алгебраической структурами примерно понятно из ссылки на топологическое линейное пространство, то что такое дифференциальная (дифференцируемая) структура? Может, есть ещё какие-нибудь структуры, которые можно добавить в этот список?

Насчёт соотношения топологической и алгебраической структуры есть один интересный момент: когда мы ставили в соответствие множеству $M$ множество $\mathbb R$ на шаге 2, то автоматически как бы наследовали и его линейную структуру - при определении метрики обычным образом получалась бы топология прямой. Но поставить в соответствие эти два множества можно различным образом, и если топологическая структура на исходном множестве $M$ уже задана каким-то иным образом, то графиком линейной функции может быть какая угодно (скорее всего - разрывная) линия. Например, если соответствие построено так: {1 2 3 6 5 4 7 8 9 ...}, то графиком функции $y = x$ будет прямая $y = x$ кроме отрезка [4, 6], где это будет прямая $y = -x + 10$.

Отсюда вопрос - являются ли топологическая и алгебраическая структура независимыми? Если нет, то как из алгебраической следует топологическая структура? Каково их взаимоотношение?..

[AlexDem]

Разбираясь с вот этим вопросом о смысле линейности, решил немного расслабиться и написать класс на Matlab для работы с перестановками, но, как это обычно бывает, прежде, чем дописал, наткнулся на довольно интересную вещь:

Перевод писал(а):

Любая конечная группа - линейна, поскольку в соответствии с теоремой Кэли она может быть представлена матрицами перестановок. Среди бесконечных групп линейные образуют интересный и удобный класс. Примеры нелинейных групп включают все "достаточно большие" группы; например, бесконечная симметрическая группа перестановок бесконечного множества.

Так что можно было ничего и не писать, ничего этому компьютеру доверить нельзя . Только непонятно - почему та же бесконечная симметрическая группа не представима бесконечными матрицами перестановок? Теорию пока не копал, но может кто быстрее вспомнит - почему?

Добавление: Сейчас вот подумал - это, похоже, из-за неравномощности множества биекций множеству бесконечных матриц. Так?

[AlexDem]

Выяснилось, что такими гомоморфизмами в группу линейных операторов занимается теория представлений групп. Наймарк в книге Теория представлений групп, рассматривая конечномерные представления, намеревался изложить бесконечномерные в отдельной книге, но, похоже, вторая книга не выходила.

Бардаков в статье "Линейные представления сопрягающих автоморфизмов и групп кос некоторых многообразий" (2005) пишет, что вопрос линейности - это вопрос точной представимости конечномерными матрицами над полем, сформулированный Бурау (1936). Почему, интересно, бесконечные матрицы не образуют линейной группы?..

Мальцев в статье "Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами" (1940) рассмотрел некоторые вопросы о представлении бесконечных групп матрицами конечной степени. Для того, чтобы такое представление было возможно, должны соблюдаться различные дополнительные условия.

У меня вопрос - не попадалась ли кому ещё литература по теории (бесконечномерных) представлений, но в таком же ключе, как у Мальцева или Бардакова - позволяющая связать групповые свойства с возможностью представления в линейном пространстве. В этом отношении книга Наймарка показалась мне гораздо менее полезной, хотя она сложней для ознакомления, может я что в ней и упустил.

-------
Добавление: Насчёт Бурау, конечно, я поспешил и наврал - он сформулировал вопрос касательно случая групп кос. Небольшая обзорная статья по поводу истории исследования линейности групп находится тут. Эта ссылка взята с английской Википедии, где, в общем-то, и ответ на вопрос предыдущего поста уже есть (раньше не заметил): The size of the matrices is restricted to be finite, as any group can be represented as a group of infinite matrices over any field.