Числовой ряд и индукция

[Ktina]

Нужно найти общий член и сумму ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!}$$

Интуитивно угадала формулу:

$$-\frac{n!+(-1)^{n+1}(n+1)}{n!}$$

И тогда сумма, естественно, равна -1.

Стала доказывать по индукции, но там есть один момент - плюсы и минусы чередуются. Как это препятствие устранить? Делать две индукции, отдельно по плюсам и по минусам?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #598080 писал(а):

Интуитивно угадала формулу

Кстати, Maple тоже угадал. Если есть формула, то какие могут быть проблемы с индукцией?

[Sonic86]

Вообще, чтоб найти суммы вида $\sum\limits_{n=a}^{+\infty}\frac{P(n)}{n!}$, где $P(n)$ - многочлен, нужно переписать $P(n)$ в базисе $n^{\underline{k}}=n(n-1)...(n-k+1)$, потом все сократить и выразить через $e$.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #598106 писал(а):

найти суммы вида $\sum\limits_{n=a}^{+\infty}\frac{P(n)}{n!}$, где $P(n)$ - многочлен

Лучше сразу $\sum\limits_{n=a}^{+\infty}\frac{P(n)}{n!}x^n$.

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #598108 писал(а):

Лучше сразу $\sum\limits_{n=a}^{+\infty}\frac{P(n)}{n!}x^n$.

Кстати да

[nnosipov]

Но для конечных сумм (не рядов) такого вида уже не так просто. Видимо, в данном примере спасает телескопическое суммирование.

[Sinoid]

Общий член у вас уже есть: $(-1)^n\frac{n^2+n+1}{n!}$. Чтобы найти сумму, представлю дробь $\frac{n^2+n+1}{n!}$ в следующем виде: $\frac{n^2+n+1}{n!}=\frac{n}{(n-1)!}+$
$+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}+$ $+\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-2)!}+\frac{2}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}$. Первый член ряда есть -3. Представлю его в виде $-(\frac{2}{0!}+\frac{1}{1!})$. А n-й член, начиная со второго, в виде $ a_n={(-1)^n}(\frac{1}{(n-2)!}+\frac{2}{(n-1)!}+\frac{1}{n!})$. Далее нахожу n-ю частичную сумму: $s_1=$ $=a_1=-3=-1+{(-1)^1}(\frac{1}{0!}+\frac{1}{0!})$, $s_2=-(\frac{2}{0!}+\frac{1}{1!})+(\frac{1}{0!}+\frac{2}{1!}+\frac{1}{2!})=$$=-2-1+1+2+\frac{1}{2}=-1+{(-1)^2}(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}). А при $n>2$ $s_n=-(\frac{2}{0!}+\not{\frac{1}{1!})+(\frac{1}{0!}+\not{\frac{2}{1!}}+\not{\frac{1}{2!}})-(\not{\frac{1}{1!}}+\not{\frac{2}{2!}}+\not{\frac{1}{3!}}+(\not{\frac{1}{2!}}+\not{\frac{2}{3!}}+\not{\frac{1}{4!})-(\not{\frac{1}{3!}+\not{\frac{2}{4!}+\not{\frac{1}{5!})+...+{(-1)^{n-3}}(\not{\frac{1}{(n-5)!}+\not{\frac{2}{(n-4)!}+\not{\frac{1}{(n-3)!})+{(-1)^{n-2}}(\not{\frac{1}{(n-4)!}+\not{\frac{2}{(n-3)!}+\not{\frac{1}{(n-2)!})+{(-1)^{n-1}}(\not{\frac{1}{(n-3)!}+\not{\frac{2}{(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!})+{(-1)^n}(\not{\frac{1}{(n-2)!}+\frac{2}{(n-1)!}+\frac{1}{n!})=-2+1+{(-1)^n}(\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!})$ ,значит, $s=\lim{\limits_{n\to\infty}}s_n=\lim{\limits_{n\to\infty}}(-1+{(-1)^n}(\frac{1}{(n-1)!}+\frac{1}{n!}))=-1$. Почему-то члены после многоточия не отображаются как надо.