Исследование на экстремум

[vlad_light]

Исследовать на экстремум.

$$f(x,y,z)=x^2+2xy+z^2+2z+3$$

$f_x'=2x+2y=0$
$f_y'=2x=0$
$f_z'=2z+2=0$
Следовательно, точка $(0,0,-1)$ будет стационарной.
Дальше исследуем матрицу из вторых производных и считаем главные миноры. Поличилось $\Delta _1=2, \Delta _2=-4,\Delta _3=-8$. По критерию Сильвестра она не будет ни положительно, ни отрицательно определённой. Как дальше исследовать?

[AKM]

vlad_light

исправьте заголовок. Заголовок должен быть информативным.

[ewert]

vlad_light в сообщении #597472 писал(а):

По критерию Сильвестра она не будет ни положительно, ни отрицательно определённой. Как дальше исследовать?

Никак: критерий Сильвестра -- это критерий, т.е. необходимое и достаточное условие знакоопределённости: положительность всех собственных чисел равносильна положительности всех главных миноров, отрицательность -- правильному чередованию знаков этих миноров. Здесь же чередование знаков есть, но неправильное; значит, заведомо есть собственные числа разных знаков.

[vlad_light]

Мне просто казалось, что критерий Сильвестра -- это признак (достаточное условие). Всё-таки не зря там написано слово "критерий".
То, что он здесь не работает -- это понятно. Но ведь это только достаточное условие экстремума (знакоопределённость кв. формы из 2-ых производных). Ведь у этой функции по прежнему может достигаться экстремум в нашей точке. Как это доказать или опровергнуть? Подозреваю, нужно взять $\varepsilon $-окрестность нашей точки и посчитать значения нашей функции в этой окрестности. Там получится 12 вариантов, либо пока мы не придём к противоречию. Я правильно рассуждаю?

[Профессор Снэйп]

Вообще-то тут, в этом конкретном примере

$$ f(x,y,z) = (x+y)^2 - y^2 + (z+1)^2 + 2 $$

Видно, что ни максимумов, ни минимумов быть не может.

[vlad_light]

та я пример сам придумал
Меня больше интересует правильный подход к данным задачам, а не само решение. Вы наверняка часто сталкивались с подобными задачами, можете вспомнить какую-то красивую задачу, а я попытаюсь её решить. Спасибо!
И ещё вопрос: разве нам не нужно делить коэффициенты при смешанных производных на 2?

[Профессор Снэйп]

vlad_light в сообщении #597497 писал(а):

Меня больше интересует правильный подход к данным задачам, а не само решение. Вы наверняка часто сталкивались с подобными задачами, можете вспомнить какую-то красивую задачу, а я попытаюсь её решить.

Та Вам надо не красивые, а стандартные задачи решать. Если уж правильный подход больше интересует. Демидович, номера 3621 - 3710, открываете книжку и вперёд

А красивых задач на нахождение экстремума функции многих переменных я не знаю. Если б знал, создал бы тему в олимпиадном разделе.

[vlad_light]

Большое спасибо. Пошёл счелкать
Кто подскажет, как выглядит слабая сходимость в $C([a,b])$? Я знаю, что любой функционал можно представить в виде:

$$f(x)=\int\limits _a^b x(t)dF(t)$$

где $F\in BV([a,b])$. $F$ можно представить в виде:

$$F(t)=F^+(t)-F^-(t)+\sum\limits _k c_k\theta (t-t_k)$$

где $F^+,F^-$ неубывающие функции, $\theta $ - функция Хевисайда. И тогда

$$\int\limits _a^b x(t)dF(t)=\int\limits _a^b x(t)dF^+(t)-\int\limits _a^b x(t)dF^-(t)+\sum\limits _{k:t_k\in [a,b]} c_kx(t_k)$$

и получается, что слабая сходимость в $C([a,b])$ эквивалентна сходимости в каждой точке. Это верно?

[ewert]

vlad_light в сообщении #597491 писал(а):

Но ведь это только достаточное условие экстремума (знакоопределённость кв. формы из 2-ых производных).

Не совсем так. Отсутствие или наличие экстремумов обусловлено наличием или отсутствием знакоопределённости собственных чисел матрицы, составленной из вторых производных. Есть знакоопределённость -- есть экстремум; нет -- значит, нет. И критерий Сильвестра предназначен для проверки именно знакоопределённость собственных чисел.

Не срабатывает это как критерий лишь тогда, когда среди собственных чисел есть нулевые, т.е. когда сама матрица вырождена; но ведь в Вашем-то примере её определитель нулю не равен.

[vlad_light]

Т.е., если все главные миноры (собственные числа) отличны от нуля, то мы можем сразу точно сказать: есть экстремум или нет, верно?
И по поводу деления на $2$. Вот у нас есть функция

$$f(x,y)=x^2+2xy+y^2$$

тогда $f_{xx}=f_{yy}=f_{xy}=2$ и в матрице будут все двойки или только по диагонали, а по бокам 1?

[Алексей К.]

Все двойки.

[TR63]

vlad_light в сообщении #597514 писал(а):

Т.е., если все главные миноры (собственные числа) отличны от нуля, то мы можем сразу точно сказать: есть экстремум или нет, верно?

Присоединяюсь к этому вопросу.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Цитата:

Присоединяюсь к этому вопросу.

Кому какая от этого польза? Прекращаяем флудить в теме!

Надо посчитать интеграл Лебега-Стильтьеса.
Функция такая:

$$F(x)=\mathbb I _{[0,1)}(x)x+\mathbb I _{\{1\}}(x)3x^2$$

Считаем:

$$\int\limits _{\mathbb R}dF(x)=\int\limits _{\mathbb R}d(\mathbb I _{[0,1)}(x)x+\mathbb I _{\{1\}}(x)3x^2)=\int\limits _{[0,1)}dx+\int\limits _{\{1\}}d(3x^2-2)+\int\limits _{\{1\}}d2\theta (x-1)=$$

$$=1\cdot (1-0)+0+2=3$$

Верно?

[TR63]

(Оффтоп)

Не. Это не флуд. Просто есть сомнение и, возможно, контрпример. Но, если это заочно флуд, то не вмешиваюсь.

[ewert]

vlad_light в сообщении #597514 писал(а):

Т.е., если все главные миноры (собственные числа) отличны от нуля, то мы можем сразу точно сказать: есть экстремум или нет, верно?

Да, сможем. Нет, миноры -- это не собственные числа.

Если матрица не вырождена, то возможны ровно три взаимоисключающих случая.

1. Все собственные числа положительны. По критерию Сильвестра это равносильно положительности всех главных миноров. И в этом случае точка является минимумом.

2. Все собственные числа отрицательны. По критерию Сильвестра это равносильно знакочередованию всех главных миноров, начиная с минуса. В этом случае точка является максимумом.

3. Есть как положительные, так и отрицательные собственные числа. Тогда точка не является экстремумом (поскольку при удалении от неё по направлениям одних собственных векторов функция возрастает, других -- убывает). А поскольку этот случай альтернативен первым двум -- реализуется он тогда и только тогда, когда поведение миноров не отвечает ни первому, ни втором случаю.


Это можно частично обобщить и на вырожденные матрицы. Для того, чтобы точка не являлась экстремумом, достаточно, чтобы неправильно вела себя хоть одна начальная цепочка миноров $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_r$, в которой $\Delta_r\neq0$. Другими словами, дополнительному исследованию подлежат не так уж и много случаев -- только те, в которых $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_r$ ведут себя правильным образом (все положительны или все правильно знакочередуются), в то время как все дальнейшие миноры, начиная с $\Delta_{r+1}$, равны нулю.