Три задачи с олимпиад прошлых лет

[Ktina]

1) По окружности выписано 100 целых чисел, сумма которых равна 1. Цепочкой назовём несколько чисел, стоящих подряд. Найти количество цепочек, сумма чисел в которых положительна.


2) Найти все целые числа $a, b, n>1$, удовлетворяющие уравнению

$$(a^3+b^3)^n=4(ab)^{1995}$$

3) Найти все положительные рациональные числа $r\ne 1$, при которых

$$r^{\frac{1}{r-1}}$$

- тоже рациональное число.

[venco]

1) Тупая оценка: 4951.

[Ktina]

venco в сообщении #596785 писал(а):

1) Тупая оценка: 4951.

И почему же она тупая?

[Dave]

Ktina в сообщении #596801 писал(а):

venco в сообщении #596785 писал(а):

1) Тупая оценка: 4951.

И почему же она тупая?

Почему же она - оценка?

[venco]

Потому что я не доказывал, а посчитал для простейшего случая - все нули кроме одной единицы. Ведь условие подразумевает, что ответ не зависит от чисел.

-- Ср июл 18, 2012 16:33:29 --

Доказывается, правда, тоже легко...

-- Ср июл 18, 2012 16:47:32 --

2)
$a=b=2, n=998$
$a=b=2^{55}, n=1322$
$a=b=2^{221}, n=1328$

[TOTAL]

venco в сообщении #596824 писал(а):

Потому что я не доказывал, а посчитал для простейшего случая - все нули кроме одной единицы. Ведь условие подразумевает, что ответ не зависит от чисел.

-- Ср июл 18, 2012 16:33:29 --

Доказывается, правда, тоже легко...

4951 опровергается легко.

[venco]

TOTAL в сообщении #596918 писал(а):

4951 опровергается легко.

Вы уверены, что не забыли про слово "целых"?

[Ktina]

TOTAL в сообщении #596918 писал(а):

4951 опровергается легко.

А можно увидеть Ваше опровержение?

[TOTAL]

Ktina в сообщении #597031 писал(а):

TOTAL в сообщении #596918 писал(а):

4951 опровергается легко.

А можно увидеть Ваше опровержение?

Пожалуйста.
Вот 100 цепочек из 100 чисел:
$100 \cdots 000$
$010 \cdots 000$
$ \cdots \cdots$
$000 \cdots 010$
$000 \cdots 001$

Плюс 99 цепочек из 99 чисел. И т.д.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #597150 писал(а):

Ktina в сообщении #597031 писал(а):

TOTAL в сообщении #596918 писал(а):

4951 опровергается легко.

А можно увидеть Ваше опровержение?

Пожалуйста.
Вот 100 цепочек из 100 чисел:
$100 \cdots 000$
$010 \cdots 000$
$ \cdots \cdots$
$000 \cdots 010$
$000 \cdots 001$

Плюс 99 цепочек из 99 чисел. И т.д.

Ваши "100 цепочек из 100 чисел" суть одна и та же цепочка.