Весёлая матрица

[Ktina]

В каждой клетке квадратной таблицы 101 × 101 записано число +1 или – 1. Обозначим через $a_i \quad (i\in\{1, 2, 3, \dots , 101\})$ произведение всех чисел, записанных в i-й строке, а через $b_i\quad (i\in\{1, 2, 3, \dots , 101\})$ — произведение всех чисел, записанных в i-м столбце данной таблицы. Может ли случиться так, что сумма всех чисел $a_i$ и $b_i$ равна нулю?
Если да, привести пример.
Если нет, доказать.

[kw_artem]

Если сумма всех чисел равна нулю, то $\sum a_i=-\sum b_i$. сумма в правой части и сумма в левой части, каждая отдельно -- это сумма все элементов матрицы. поэтому равенство возможно, только если сумма всех элементов равна нулю, что невозможно т.к. количество элементов матрицы -- нечетное число ($101^2$).

[Ktina]

kw_artem в сообщении #597380 писал(а):

...сумма в правой части и сумма в левой части, каждая отдельно -- это сумма все элементов матрицы.

Кто сказал?

[kw_artem]

сорри, невнимательно прочитал условие. оказывается там произведение

-- 21.07.2012, 01:11 --

Тогда, если сумма всех чисел $a_i$ и $b_i$ равна нулю, то количество строк вместе с столбцами являющихся "отрицательными" (произведение в строке или в в столбце) -- нечетное число. Значит либо количество "отрицательных" строк -- нечетное количество, а столбцов -- четное, либо наоборот. Но такое невозможно, т.к. с одной стороны выходит "-1" в матрице четное число, с другой -- нечетное.

[svv]

Рассмотрим раскладку, в которой все элементы равны $+1$. Здесь сумма всех $a$ и $b$ будет $202$.

Из неё можно, меняя по одному элементу, получить любую другую раскладку. Но изменение знака одного элемента матрицы приводит к изменению знака одного из $a$ и одного из $b$. В результате на каждом шаге сумма всех $a$ и $b$ либо сохраняется, либо меняется на $4$.

[Mathusic]

Предложу и свой вариант до кучи.
Если заменить $-1$ на $1$, а умножение - на сложение по $\mod{2}$, то искомая сумма равна нулю $\Longleftrightarrow$ среди всех $a_i$ и $b_i$ ровно $101$ единица. А это опять-таки значит, что $\sum(a_i+b_i) \equiv 101 \equiv 1 \pmod 2.$ С другой стороны $\sum(a_i+b_i) \equiv 0 \pmod 2$, как удвоенная сумма элементов матрицы. Противоречие.
Как видно, решение не зависит от нечётного порядка матрицы, как, собственно, и, например, предыдущее более элегантное решение.