Две задачи

[DjD USB]

Точный квадрат заканчивается нечетной циФрой.Докажите что его предпоследняя цифра четна.
2)Докажите что при всех натуральных $n$ число $(2^n-1)^n-3$ делится на $2^n-3$
3)Можно ли выписать в ряд а)15 б)16 чисел так чтобы сумаа любых трех подрят идущих была положительной,а любых пяти подрят идущих отрицательна

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #596425 писал(а):

2)Докажите что при всех натуральных $n$ число $(2^n-1)^n-3$ делится на $2^n-3$

Представьте $2^n-1$ в виде делителя + что-то.

-- Ср июл 18, 2012 03:31:18 --

DjD USB в сообщении #596425 писал(а):

Точный квадрат заканчивается нечетной циФрой.Докажите что его предпоследняя цифра четна.

В принципе можно перебрать все значения $x^2\mod 100$ их всего ### (кстати, почему?). Нечетных из них - половина. По мере решение глядишь, и увидите более простое рассуждение... (напр., $(10a+2k+1)^2=$...)

[DjD USB]

Первую задачу вашим примером решал

-- Ср июл 18, 2012 07:27:57 --

Не понял что вы имели ввиду по второй задаче

[Shadow]

3) Рассмотрите первых 15 чисел последовательности. Какая у них сумма?

[DjD USB]

Shadow в сообщении #596439 писал(а):

3) Рассмотрите первых 15 чисел последовательности. Какая у них сумма?

Если разбить на 3 группы по 5 чисел то в сумме эти группы дадут отричательное число,но если расматривать 5 групп по 3 числа то их сумма положительна.Я в тупике

-- Ср июл 18, 2012 07:54:00 --

DjD USB в сообщении #596440 писал(а):

Shadow в сообщении #596439 писал(а):

3) Рассмотрите первых 15 чисел последовательности. Какая у них сумма?

Если разбить на 3 группы по 5 чисел то в сумме эти группы дадут отричательное число,но если расматривать 5 групп по 3 числа то их сумма положительна.Я в тупике

Это противоречие же.

[vorvalm]

DjD USB в сообщении #596425 писал(а):

Точный квадрат заканчивается нечетной циФрой.Докажите что его предпоследняя цифра четна.

$(2n+1)^2-(2m+1)=4n^2+4n-2m. \;\;\; m\in\{0,2,4\}$
$5\not{\mid} n$

[xmaister]

DjD USB, Вы с аппаратом сравнений знакомы? Если да, то в 2 используйте очевидные сравнения $(2^n-1)^n\equiv 2^n\pmod{2^n-3}$ и $-3\equiv -3\pmod{2^n-3}\Leftrightarrow -3\equiv -2^n\pmod{2^n-3}$, теперь вспомните одно свойство сравнения и всё .

Upd: не заметил, что первая уже решена.

[vorvalm]

DjD USB в сообщении #596425 писал(а):

Точный квадрат заканчивается нечетной циФрой.Докажите что его предпоследняя цифра четна.

Правильное решение дал Sonic86

$[(10n+(2m+1))^2-(2m+1)^2]/10=10n^2+2n(2m+1)$
$n\in\mathbb{N},\;\;m\in \{0, 1, 2, 3, 4\}$

[DjD USB]

xmaister в сообщении #596454 писал(а):

DjD USB, Вы с аппаратом сравнений знакомы? Если да, то в 2 используйте очевидные сравнения $(2^n-1)^n\equiv 2^n\pmod{2^n-3}$ и $-3\equiv -3\pmod{2^n-3}\Leftrightarrow -3\equiv -2^n\pmod{2^n-3}$, теперь вспомните одно свойство сравнения и всё .

Upd: не заметил, что первая уже решена.

Дейвствительно все очень красиво получается.
Вот еще одна задача.Найдите остаток при делении $3^2012$ на 7 и на 11

[Sonic86]

DjD USB в сообщении #596572 писал(а):

Вот еще одна задача.Найдите остаток при делении $3^2012$ на 7 и на 11

Пишется $3^{2012}$.
Ну почитайте хоть минимально теорию сравнений - легкотня же. В Бухштабе очень легко написано.
Чем равно $3^6\mod 7$? Что это дает?

[xmaister]

DjD USB в сообщении #596572 писал(а):

Найдите остаток при делении $3^2012$ на 7 и на 11

Вспомните малую теорему Ферма.