Нестационарная задача теплопроводности на МКЭ

[maxchv]

Для реализации МКЭ использую вариационный принцип (Л. Сегерлинд "Применение метода конечных элементов"). Одномерные и двумерные стационарные задачи успешно решены. Однако нестационарные никак не даются.

Для получения распеределения температуры по времени использую конечно-разностный метод (стр. 205). Там есть такая формула:

$$\left ( \frac{2}{\Delta t} [C] + [K] \right )\{\Phi\}_1 = \left ( \frac{2}{\Delta t} [C] - [K] \right )\{\Phi\}_0 - (\{F\}_1 + \{F\}_0)$$

У меня возникли вот какие вопросы:

1) Каким образом учитывать граничные условия 1-го рода? В задаче 104 приводится расчет матрицы $[A] = \left ( \frac{2}{\Delta t} [C] + [K] \right )$ для задачи 59 и матрица $ [K] $ не модифицирована с учетом ГУ 1-го рода. Может быть по аналогии необходимо модифицировать матрицу $[A]$ и вектор $\left (\frac{2}{\Delta t} [C] - [K] \right )\{\Phi\}_0 - (\{F\}_1 + \{F\}_0)$ вместо матрицы $[K]$ и вектора$\{F\}$ ?

2) Что нужно сделать, для того, чтобы задать начальную температуру? Присвоить вектору $\{T\}_0$ начальную температуру? Но в этом случае температура во всех узлах на первом же шаге по времени становится меньше начальной.

[maxchv]

Отвечаю на свой же вопрос (может кто столкнется с подобной проблемой). В книге допущена неточность (и как я раньше на это не обратил внимания?). Формула (11.23) стр. 206 должна выглядеть так:

$$\left ( \frac{2}{\Delta t} [C] + [K] \right )\{\Phi\}_1 = \left ( \frac{2}{\Delta t} [C] - [K] \right )\{\Phi\}_0 + (\{F\}_1 + \{F\}_0)$$

И все! Учет ГУ 1-го рода происходит аналогично тому, как они учитывались и в стационарной расчете (т.е. необходимо преобразовать матрицу $[K]$ и вектор$\{F\}_1$). Начальные условия учитываются автоматически при задании $\{\Phi\}_0$.

[Rita_Rita]

А как составить матрицы для метода разложения по собственным формам?

[leszvv]

maxchv , спасибо большое за поправку.

целый день сражался - думал ошибка в коде. решил погуглить - и тут Ваше сообщение!



ПС. хоть и 6 лет прошло :)

[McLay]

Может кому поможет
http://www.gu-unpk.ru/public/file/defen ... 2.2011.pdf