Найти все экстремали функционала

[Sverest]

Найти все экстремали функционала $J(y)$ удовлетворяющие следующим условиям

$$J(y)=\int_0^1 (y '^2+xy)dx$$

$$y(0)=y(1)=0$$

Решение:
$F(x,y,y')=y '^2+xy$

$F_y=x$

$F_{y'}=2y'$
уравнение Эйлера:
$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0$

$x-\frac{d}{dx}2y'=0$

Теперь надо $F_{y'}$ приравнять к $C$ ?

[svv]

Нет, теперь надо понять, что поскольку штрих и $\frac d{dx}$ — это два обозначения для одного и того же, то $\frac d{dx}y'=y''$.

[Sverest]

То есть получим $y''=\frac{x}{2}$

теперь надо взять два раза интеграл $\frac{x}{2}$ и я получу ответ?

[svv]

Вот тут-то и появятся две неопределённые константы — сначала $C_1$, при втором интегрировании $C_2$. А Вы по ним — граничными условиями, граничными условиями!