e^z=z

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #594949 писал(а):

А в разве в математике может быть что-то ненужное и неинтересное?

Может. Например, существует несчетное множество неинтересных действительных чисел.

[Shtorm]

Ktina, ну как, удалось получить какое-нибудь приемлемое решение?

[Ktina]

Shtorm в сообщении #595000 писал(а):

Ktina, ну как, удалось получить какое-нибудь приемлемое решение?

Покамест, не совсем.

[arseniiv]

Действительные части корней верхней полуплоскости от номера корня можно как-нибудь аппроксимировать.

-- Сб июл 14, 2012 01:43:24 --

Для 159 первых по возрастанию $\operatorname{Re}z$ корней, $\operatorname{Re}z_n \approx \ln(2\pi n - 4{,}89) \pm 0{,}03$ (нумерация с единицы). Странно.

И, похоже, $\lim_{n\to\infty} \left(\operatorname{Re}z_n - \ln(2\pi n)\right) = 0$.

[g______d]

Если воспользоваться английской Википедией

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_ ... #Example_1

, то, если я не обсчитался, получится частное решение $z=-W(-1)$. Но оно не выражается через элементарные функции.

[Shtorm]

g______d в сообщении #595583 писал(а):

....если я не обсчитался, получится частное решение $z=-W(-1)$. Но оно не выражается через элементарные функции.

А вот насколько прочно вошла функция Ламберта в математику? То есть можно ли её также широко применять, как скажем, обратные гиперболические функции?

[apriv]

Shtorm в сообщении #595611 писал(а):

g______d в сообщении #595583 писал(а):

....если я не обсчитался, получится частное решение $z=-W(-1)$. Но оно не выражается через элементарные функции.

А вот насколько прочно вошла функция Ламберта в математику? То есть можно ли её также широко применять, как скажем, обратные гиперболические функции?

Какая разница, насколько прочно? Если поможет — применяйте, если нет — не применяйте. Ну да, для решения этого великого уравнения $e^z=z$ нашлось обозначение, поскольку кому-то уже встречалось это великое уравнение и он придумал для его решения буковку $W$. Но если бы этой буковки не было придумано — ну и что, никто не мешает Вам размышлять об этом решении, пользоваться им и что-то доказывать про него.

[Shtorm]

apriv в сообщении #595614 писал(а):

....и он придумал для его решения буковку $W$. Но если бы этой буковки не было придумано — ну и что, никто не мешает Вам размышлять об этом решении, пользоваться им и что-то доказывать про него.

Так же как в своё время были придуманы буковки и символы $e, sin, cos, sh$ и так далее. Но любой студент физмат или технарь это знает и применяет, но вот про функцию Ламберта этого пока не скажешь.

[AKM]

Shtorm в сообщении #595651 писал(а):

были придуманы буковки и символы $e, sin, cos, sh $ и так далее. Но любой студент физмат или технарь это знает и применяет, но вот про функцию Ламберта этого пока не скажешь.

Не любой, к сожалению. Не любой понимает, когда это пишет. Далеко не любой. Да, к сожалению. А который понимает --- ему и остальная ерунда покорится без проблем. Который понимает --- сам буковку придумает, вполне адекватно. Это Вас тут на днях обучили функции Ламберта, вот Вы и щеголяете. А Френели там всякие, Ci-Si-, прочие ерфы..?
А ещё есть гипергеометрические функции, типа $\displaystyle{}_a^b{\mathop{H}\limits_g^c}{}^d_f(z)$. Стреляться?

[Shtorm]

AKM в сообщении #595700 писал(а):

Стреляться?

Не вздумайте!
Функция ошибок - довольно часто применяется, не только в математике, но и в физике и в технике. Интегральный синус, интегральный косинус и так далее - тоже прочно вошли в математику. Но вот про функцию Ламберта я только тут на форуме узнал. Потому и спрашиваю. Понятно, что раз в учебнике по матану её нет, то вроде как непрочно вошла. С другой стороны, возможно в специальных главах (дисциплинах) она часто используется? Если бы я знал, я бы и не спрашивал.

[g______d]

Shtorm в сообщении #595741 писал(а):

Функция ошибок - довольно часто применяется, не только в математике, но и в физике и в технике.

Ну как, в той же википедии написано, где функция Ламберта возникает в физике, например,

http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_pote ... _Potential

http://www.orcca.on.ca/TechReports/Tech ... -00-16.pdf

Shtorm в сообщении #595741 писал(а):

Понятно, что раз в учебнике по матану её нет, то вроде как непрочно вошла. С другой стороны, возможно в специальных главах (дисциплинах) она часто используется? Если бы я знал, я бы и не спрашивал.

В "NIST Handbook of Mathematical Functions" она есть,

http://dlmf.nist.gov/4.13

Все спец. функции в учебник по мат. анализу не включишь. Разве что этот справочник считать учебником, но тогда и функция Ламберта там есть :)

[arseniiv]

К тому же, на включившего в свой вузовский учебник матанализа кучу ненужных в нём функций, смотреть будут под страшным углом!

[Shtorm]

g______d в сообщении #595583 писал(а):

, то, если я не обсчитался, получится частное решение $z=-W(-1)$.

Shtorm в сообщении #595611 писал(а):

А вот насколько прочно вошла функция Ламберта в математику?

apriv в сообщении #595614 писал(а):

Какая разница, насколько прочно?

Так вот, если мы используем функцию Ламберта, запишем тогда $z=-W(-1)$ и всё на этом. Чему приближённо равно это значение зачем тогда писать? Например, в какой-то задаче получили ответ $z=e^{-2i}$. Мы же на этом останавливаемся и не пишем чему это приближённо равно. Вот так тогда и с функцией Ламберта поступать.

[apriv]

Shtorm в сообщении #595977 писал(а):

Так вот, если мы используем функцию Ламберта, запишем тогда $z=-W(-1)$ и всё на этом

Ну да, так для каждого уравнения можно изобрести значок, который по определению и означает его решение. Ну, типа, «решите уравнение $x^2=2$».

[Shtorm]

apriv в сообщении #596001 писал(а):

Ну, типа, «решите уравнение $x^2=2$».

Ну так и изобрели $\sqrt [n] {x}$