Множество сумм- интервал

[xmaister]

Пусть $S_n$- множество всех сумм вида $\sum\limits_{i=1}^{n}x_i,n\ge 2$, $0\le x_1,\ldots x_n\le\frac{\pi}{2}$ и $\sum\limits_{k=1}^{n}\sin x_k=1$
1. Докажите, что $S_n$-интервал
2. $l_n$- длина $S_n$. Найти $\lim\limits_{n\to\infty}l_n$

(Источник)

IMC

[hippie]

1. Вообще-то $S_n$ не интервал, а отрезок $\left[n\arcsin\frac 1n ;\ \frac \pi 2\right].$ (Проверяется Штурмом.)

2. $\frac \pi 2-1.$

[xmaister]

hippie в сообщении #595716 писал(а):

1. Вообще-то $S_n$ не интервал, а отрезок $\left[n\arcsin\frac 1n ;\ \frac \pi 2\right].$ (Проверяется Штурмом.)

Каким таким Штурмом?

[hippie]

xmaister в сообщении #595727 писал(а):

Каким таким Штурмом?

Методом Штурма. См., например, http://kvant.mccme.ru/1981/01/priblizhe ... remumu.htm.

[xmaister]

hippie, я пока не въехал в идею статьи, которую Вы кинули. Я так делал: Для произвольного набора имеем $\sin (x+\delta_1)+\ldots +\sin (x+\delta_k)+\sin (x-\delta_{k+1})+\ldots +\sin (x-\delta_n)=1$, $\delta_i>0, i=1,2,\ldots ,n$ тогда $\int\limits_{x}^{x+\delta_1}\cos tdt+\ldots +\int\limits_{x}^{x+\delta_k}\cos tdt=\int\limits_{x-\delta_{k+1}}^{x}\cos tdt+\ldots + \int\limits_{x-\delta_{n}}^{x}\cos tdt$ откуда сразу получаем, что $\delta_{k+1}+\ldots +\delta_n<\delta_1+\ldots +\delta_k$. Значит $\inf S_n=n\arcsin \frac{1}{n},\sup S_n =\frac{\pi}{2}$.

[xmaister]

hippie, а как доказывать, что множество сумм- интервал?

[hippie]

Введём $y_k=\sin x_k.$ $0\le y_1,\ y_2,\dots,\ y_n\le 1$ и $\sum\limits_{k=1}^{n} y_k=1.$
Поскольку на отрезке $[0;\ 1]$ функция арксинус выпукла вниз, то
при сближении $y_k \quad \sum\limits_{k=1}^{n} x_k = \sum\limits_{k=1}^{n} \arcsin y_k$ уменьшается, и достигает минимума при $y_1 = y_2 = \dots = y_n = \frac 1n ;$
а при раздвигании $y_k \quad \sum\limits_{k=1}^{n} x_k = \sum\limits_{k=1}^{n} \arcsin y_k$ увеличивается, и достигает максимума при $y_1 = y_2 = \dots = y_{n-1}=0,\ y_n=1.$
Поскольку функция $\sum\limits_{k=1}^{n} \arcsin y_k$ непрерывна и множество $\{(y_1,\ y_2,\dots,\ y_n):\ 0\le y_1,\ y_2,\dots,\ y_n\le 1\ \& \sum\limits_{k=1}^{n} y_k=1\}$ связно, то $\sum\limits_{k=1}^{n} \arcsin y_k$ принимает все значения между минимумом и максимумом.

-- 16.07.2012, 10:33 --

xmaister в сообщении #595790 писал(а):

а как доказывать, что множество сумм- интервал?

Никак, потому что это множество не интервал, а отрезок!

[xmaister]

hippie в сообщении #595804 писал(а):

множество $\{(y_1,\ y_2,\dots,\ y_n):\ 0\le y_1,\ y_2,\dots,\ y_n\le 1\ \& \sum\limits_{k=1}^{n} y_k=1\}$ связно

Мне кажется, что это не очевидно. Я пытался доказать линейную связность этого множества, не получается

-- 16.07.2012, 17:09 --

hippie в сообщении #595804 писал(а):

Никак, потому что это множество не интервал, а отрезок!

Да, открезок, виноват . Просто в официальном условии написано:

Цитата:

Show that the $S_n$ is an interval