Примеры линейного пространства

[tpm01]

Начала самостоятельно разбираться с линейной алгеброй в интуите, и ответила вот так на следующий вопрос:

Цитата:

Примерами линейного пространства являются:

1. множество столбцов

2. множество строк

3. множество ненулевых столбцов

4. множество ненулевых строк

5. все многочлены

6. многочлены степени от n до m

Выбрала только вариант "все многочлены".
первый вариант отбрасываю, т.к. ничего не сказано о размерности столбцов, следовательно нулевой элемент не существует.
По этой же причине отбрасываю вариант ответа №2.
Варианты ответа №3 и №4 тоже отбрасываю т.к. для них тоже нулевой элемент не существует (ненулевые строки, ненулевые столбцы)
Вариант №5 все многочлены - линейное пространство.
Вариант №6 отбрасываю, т.к. нулевой элемент не существует.
Сервер возвращает неверный ответ
Подскажите пожалуйста, где я ошиблась, хотелось бы понять причину ошибки.

[Trius]

tpm01 в сообщении #595345 писал(а):

Начала самостоятельно разбираться с линейной алгеброй в интуите, и ответила вот так на следующий вопрос:

Цитата:

Примерами линейного пространства являются:

1. множество столбцов

2. множество строк

3. множество ненулевых столбцов

4. множество ненулевых строк

5. все многочлены

6. многочлены степени от n до m

Выбрала только вариант "все многочлены".
первый вариант отбрасываю, т.к. ничего не сказано о размерности столбцов, следовательно нулевой элемент не существует.

Нулевым элементом будет столбец из нулей.

[tpm01]

Trius, а если столбцы разной длины (о размерности ничего не сказано), их же нельзя складывать?
Например, в этом множестве будут столбец $X$ из трех элементов и столбец $Y$ из двух элементов среди всех прочих. Столбец из нулей, получается, будет из трех нулей для первого и из двух для второго? Столбцы это тоже матрицы, если я правильно понимаю, а операция сложения определена только для матриц одинаковых размерностей.
У Гельфанда, например, сказано:

Цитата:

Существует элемент 0, такой, что x+0=x для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом

Подскажите, где я неправильно рассуждаю?

[Trius]

Ну если разных размерностей, то конечно нет.

[mihailm]

(Оффтоп)

tpm01 в сообщении #595345 писал(а):

...разбираться с линейной алгеброй в интуите
...

А где это?

[Mathusic]

tpm01 в сообщении #595413 писал(а):

Подскажите, где я неправильно рассуждаю?

Вы рассуждаете правильно.
Тут дело в немножечко некорректном задании.
В первом и во втором пункте скорее всего имеются в виду столбцы и строки одинаковой размерности. Поэтому, вероятно, подразумевается, что 1,2 - тоже верные.

[tpm01]

mihailm,

(Оффтоп)

http://www.intuit.ru

-- Вс июл 15, 2012 10:01:46 --

Mathusic, спасибо, а то я уже и интернет перекопала, и книги, второй день сижу голову ломаю. Думала, тоже о некорректности задания, но вкрадывались сомнения что, возможно, я что-то неправильно истолковываю. Хорошо, что есть этот форум :)

[thought]

С полем тоже надо определиться. А то вдруг многочлены над полем F, а пространство рассматривается над расширением поля F. Тогда о пространстве тоже речи не может быть. Задание крайне некорректное.
3,4,6 точно не векторные пространства, остальные только при корректном задании.

[tpm01]

thought, спасибо. Там в других тестах некорректные вопросы пару раз попадались (для других курсов), значит, и в этом есть

[Mathusic]

thought в сообщении #595446 писал(а):

С полем тоже надо определиться. А то вдруг многочлены над полем F, а пространство рассматривается над расширением поля F.

Действительно. А что, если многочлены вообще над разными полями или кольцами?

[tpm01]

И еще один подобный вопрос:

Цитата:

Примерами линейного пространства являются:

все непрерывные на отрезке функции
все разрывные на отрезке функции
все постоянные на отрезке функции
множество иррациональных чисел
множество рациональных чисел
множество положительных чисел

Выбираю "все непрерывные на отрезке функции" и "все постоянные на отрезке функции".
Т.к. если сложить 2 разрывных функции можно получить непрерывную, при произведении иррационального числа на иррациональный коэффициент может получиться рациональное число, при произведении рационального числа на иррациональный коэффициент - иррациональное число, для положительного х на множестве положительных чисел не существует -х.
Тоже сервер возвращает неверный ответ...

[thought]

множество рациональных чисел тоже подходит, если векторное пространство над полем рациональных чисел. Без оглашения того, что является полем нельзя дать точного ответа.

Может Вам почитать нормальные книги. Из всего того барахла, что имеется на книжных полках магазинов и библиотек все же можно найти хорошие учебники.

[Mathusic]

tpm01 в сообщении #595491 писал(а):

при произведении иррационального числа на иррациональный коэффициент может получиться рациональное

Умножение векторов не определено. Тут обоснование другое - сумма двух иррац. не всегда иррациональное.
Задание тоже некорректное, ибо не понятно какое поле подразумевается (а ссылку вы давать не хотите )
Так что правильно подсказывает thought. Скорее всего $\mathbb Q$, ибо может. Другие отметаются вообще по незамкнутости, либо за неимением противоположного элемента.

[apriv]

Вообще множество само по себе не бывает векторным пространством; нужно множество с какими-то операциями. В оригинальном задании и множества-то не очень определены, и про операции ни слова (хотя, пожалуй, понятно, какие операции подразумеваются)

[tpm01]

Mathusic в сообщении #595495 писал(а):

Задание тоже некорректное, ибо не понятно какое поле подразумевается (а ссылку вы давать не хотите )

Ссылку я дать могу, последняя цитата слово в слово. Только ссылку могу дать на сам курс, а не на тест, т.к. вопросы там случайно выпадают. Тест ко второй лекции.

thought в сообщении #595493 писал(а):

Может Вам почитать нормальные книги. Из всего того барахла, что имеется на книжных полках магазинов и библиотек все же можно найти хорошие учебники.

И. М. Гельфанд "Лекции по линейной алгебре", А.И.Кострикин, Ю.И.Манин "Линейная алгебра и геометрия" это хорошие учебники? Дело в том, что в математике я чайник (технический вуз, там кмк мало математики), изучаю для себя из интереса и по работе пригодится, а так же чтобы специфические книги можно было читать. Того курса, что нам читали для этого явно недостаточно, к сожалению.
Посоветуйте пожалуйста, может есть какие-то книги с достаточно строгим изложением с упражнениями, чтобы можно было решить и сравнить с ответами, проанализировать как усвоен материал.