2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Заряженные сферы
Сообщение14.07.2012, 19:11 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Имеются шар и сфера одинакового радиуса $R$, равномерно заряженные до заряда $q$ (шар -- по объему, сфера по поверхности). Если разрезать их диаметральной плоскостью на две половинки, то между половинками возникнет сила отталкивания.

1) Не проводя ни каких вычислений попробуйте определить, какая из сил больше: сила отталкивания между половинками шара ($F_1$) или половинками сферы($F_2$)?

2) Найти силу взаимодействия между двумя половинками шара, равномерно заряженных по объему до плотностей $\rho_1$ и $\rho_2$.

3) То же для двух половинок сферы, заряженных до плотностей $\sigma_1$ и $\sigma_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение14.07.2012, 20:11 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
1. Думаю, сильнее будут отталкиваться половинки шара. Соображение такое: мысленно рассечём оба тела достаточно большим числом равноотстоящих плоскостей, параллельными плоскости, рассекающей тело пополам. Так вот, у сферы заряды, попадающие в промежуток между соседними пл-стями, равны друг другу (легко доказать). Тогда как у шара, что очевидно без доказательств, такие заряды будут стремиться к нулю по мере удаления. Ну и, интуитивно, силы расталкивания должны быть больше там, где бо`льшие заряды в меньшей степени пространственно разнесены.
2. Плотность энергии поля вне тела
$$w=\frac{\varepsilon_0}{2}(\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2})^2$$
Значит, на поверхности сферы действует давление расталкивающих тел, численно совпадающее с плотность энергии w. Если взять интеграл по сфере, беря составляющую элементарных сил давления, перпендикулярных секущей плоскости, то результирующая сила расталкивания составляет (как будто, если не наврал)$$f=\frac{q^2}{16\pi \varepsilon_0R^2}$$
3. С шаром, видимо, надо, в принципе, какую-то подобную функцию интегрировать по r от 0 до R. На каждую подсферу будут действовать расталкивающие силы, созданными только внутренними зарядами. Кстати, можно при желании задаться плотностью заряда $\rho=\rho(R)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 09:36 
Заслуженный участник


13/04/11
564
По первому пункту -- вывод правильный.

2) Ответ неверен. По данному решению получается, что с такой же силой должны расталкиваться и половинки сферы, что противоречит вашему выводу из п1. Кроме того, в условии предлагается найти силу взаимодействия, когда половинки шара заряжены с разной плотностью.

3) В случае сферы ответ можно получить не прибегая к интегрированию (и даже обобщить на случай неравновеликих частей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 11:04 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Как будто правильный п. 2 (?). Другое дело, извиняюсь - я по невнимательности расчёт провёл для $\sigma=\operatorname{const}$ $$f=\frac{\pi R^2\sigma^2}{\varepsilon_0}$$
Но если этот результат верен, то для разных поверхностных плотностей, очевидно, следует заменить квадрат $\sigma^2$ на произведение $\sigma_1\sigma_2$.
Вообще-то из общих соображений ясно, что сила пропорциональна $R^2\sigma_1\sigma_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 18:35 
Заслуженный участник


13/04/11
564
И этот ответ неверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 20:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну со сферой всё довольно просто. Если $Q$ -- полный заряд сферы (пока что однородно заряженной), то напряжённость на внешней поверхности сферического слоя есть $\dfrac{Q}{R^2}$, на внутренней -- нулю, т.е. в среднем по слою $\dfrac{Q}{2R^2}$. Соответственно, давление, распирающее сферу, равно $\dfrac{Q\sigma}{2R^2}$. А сила расталкивания половинок, т.е. сила давления на диаметральное сечение, есть $\dfrac{Q\sigma}{2R^2}\cdot\pi R^2=\dfrac{Q^2}{8R^2}$.

Соответственно, если $q$ -- заряд половинки сферы, то те половинки расталкиваются с силой $\dfrac{q^2}{2R^2}$. А для половинок, однородно заряженных разными зарядами -- очевидно, с силой $\dfrac{q_1q_2}{2R^2}$.

Но! тут есть один нюанс. Самое начальное рассуждение формально корректно лишь для равномерного распределения плотности зарядов по толщине (бесконечно тонкого) сферического слоя. И надо ещё доказать, что та самая половинка не зависит от распределения по толщине.

Это можно делать в лоб. А можно подойти с другого конца: воспользоваться формулой для энергии системы зарядов и потом соотношением типа $P\,dV=dU$. Или гибридный вариант: указать на то, что по последнему варианту результат в любом случае окажется однозначным (поскольку потенциал, в отличие от напряжённости, при переходе сквозь сферу скачка не испытывает) и потому достаточно рассмотреть именно равномерное распределение зарядов по толщине. В общем, хоть как-то, но сей факт формально обосновывать придётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 23:01 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Подход $Ewert$ вызывает у меня вот какие сомнения (подозреваю, и с $Obar$ мои расхождения те же самые).
Применим чисто энергетический подход. Плотность энергии поля есть $$w=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$$ Нас интересует давление, испытываемое однородно заряженной сферой со стороны собственного эл. поля. Представим, что это давление уравновешено внешним давлением $p$ окружающего сферу газа (внутри неё - вакуум). Это означает (!), что если радиус сферы совершит малое виртуальное увеличение $dR$, то общая энергия поля уменьшится $$dU= - wS dR$$
Это уменьшение произошло вследствие работы по выжиманию газа $$dA=pSdR$$
И, поскольку $dU+dA=0$, приходим к равенству(без деления пополам!) $$p=w$$
Какие здесь возражения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 23:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dovlato в сообщении #595701 писал(а):
Это уменьшение произошло за счёт произведенной работой по выжиманию газа

Я лично не выжимал никакого газа. Я лично использовал лишь тот факт, что если понятие давления как силы, действующей на единицу площади, в данной задаче осмысленно -- то для силы, действующей по соединяющей окружности, уже математически вполне эквивалентно использовать газовую модель.

А вот как посчитать давление (коль скоро уж оно имеет смысл) -- это уже совершенно другой вопрос, к газам никакого отношения не имеющий. Просто у нас есть некое внешнее давление, сдерживающее сферу. Неважно, какой природы. И при бесконечно малом и бесконечно медленном изменении радиуса работа сил давления равна изменению потенциальной энергии зарядов, вот и всё.

Кроме того, не забывайте, что есть и тупой первый вариант: честно проинтегрировать напряжённость, умноженную на плотность, вдоль толщины слоя. Неэстетично, конечно, но результат тоже даст.

Да, могу привести и ещё один аргумент (пусть и несколько жульнический): если уж мы верим, что задача вообще осмысленна, т.е. что допускает конкретный ответ независимо от распределения по толщине -- то достаточно рассматривать равномерное распределение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение15.07.2012, 23:34 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, но откуда-то расхождение взялось! Где-то сбой.. Я, конечно, если есть возможность, всегда предпочту энергетический подход - лично мой опыт показывает, что при этом я реже ошибаюсь.
Ваш подход как бы "повисает" для сферы нулевой толщины - тогда как для энергетического метода распределение по толщине вообще роли не играет (для тонкой сферы, конечно). Но ведь интуиция подсказывает, что - и не должно играть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 11:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dovlato в сообщении #595715 писал(а):
Да, но откуда-то расхождение взялось!

А где расхождение-то?...

dovlato в сообщении #595701 писал(а):
приходим к равенству(без деления пополам!) $$p=w$$
Какие здесь возражения?
dovlato в сообщении #595701 писал(а):
Плотность энергии поля есть $$w=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$$

Как же без пополам, когда вот она -- двойка в знаменателе.

dovlato в сообщении #595715 писал(а):
Ваш подход как бы "повисает" для сферы нулевой толщины

Нет, не повисает. Если честно расписать силу интегрированием плотности на напряжённость по радиусу, то оказывается, что в пределе бесконечно тонкой стенки результат зависит лишь от суммарной поверхностной плотности, но не от распределения плотностей по радиусу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 15:12 
Заслуженный участник


13/04/11
564
ewert в сообщении #595644 писал(а):
Если $Q$ -- полный заряд сферы (пока что однородно заряженной), то напряжённость на внешней поверхности сферического слоя есть $\dfrac{Q}{R^2}$, на внутренней -- нулю, т.е. в среднем по слою $\dfrac{Q}{2R^2}$.
Подобные рассуждения легко избежать следующим приемом. Выделим небольшой участок поверхности сферы. Поле вне сферы (но у самой ее поверхности) складывается из поля самого участка и поля всех других частей сферы. Из теоремы Гаусса находим, что поле, создаваемое самим участком вдвое меньше полного поля сферы. Значит и поле всех других зарядов составляет половинку полного поля. И именно в этом поле и находится рассматриваемый участок, это поле и определяет силу.
dovlato в сообщении #595701 писал(а):
то общая энергия поля уменьшится $$dU= - wS dR$$
Вот это выражение и неверно. Во-первых, появится поле и между половинками сферы. Во-вторых, и вне сферы изменение энергии будет не таким. Нарисуйте на бумаге две половинки сферы и силовые линии от них. А теперь разорвите лист пополам и раздвиньте половинки. Между сферами образуется щель, которая должна быть заполнена полем. Какая там плотность энергии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 15:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #595846 писал(а):
Вот это выражение и неверно. Во-первых, появится поле и между половинками сферы.

dovlato имел здесь в виду не раздвижение половинок, а раздувание всей сферы. Тогда всё верно.

obar в сообщении #595846 писал(а):
Поле вне сферы (но у самой ее поверхности) складывается из поля самого участка и поля всех других частей сферы. Из теоремы Гаусса находим, что поле, создаваемое самим участком вдвое меньше полного поля сферы.

Неубедительно. Поле, создаваемое другими частями -- где конкретно? Оно ведь очень резко меняется в пределах вырезаемого пятна, так что тут ещё пыхтеть и пыхтеть для оправдания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 15:49 
Заслуженный участник


13/04/11
564
ewert в сообщении #595856 писал(а):
dovlato имел здесь в виду не раздвижение половинок, а раздувание всей сферы. Тогда всё верно.

Да, действительно, неправильно понял. Тогда должно быть все правильно, а ошибка чисто алгебраическая.
ewert в сообщении #595856 писал(а):
Поле, создаваемое другими частями -- где конкретно?
В месте нахождения выделенного участка.

ewert в сообщении #595856 писал(а):
Оно ведь очень резко меняется в пределах вырезаемого пятна, так что тут ещё пыхтеть и пыхтеть для оправдания.
Неоднородность поля обусловлена полем самого выделенного участка, а оно нам не интересно. Поле от остальных частей сферы весьма однородно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 16:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
obar в сообщении #595858 писал(а):
Поле от остальных частей сферы весьма однородно.

Вот и вопрос: в каких пределах оно однородно?...

Как минимум придётся поразмахивать руками насчёт того, что краевыми эффектами вблизи границ участка можно пренебречь, в каком смысле можно и почему. Да и то, что поле остальной части существенно не меняется по толще вырезаемого участка -- тоже, формально говоря, надо как-то обосновывать. (Конечно, последнее "очевидно"; но соображения здравого смысла -- это ещё не аргумент.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Заряженные сферы
Сообщение16.07.2012, 16:32 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
ewert в сообщении #595799 писал(а):
dovlato в сообщении #595715 писал(а):
Да, но откуда-то расхождение взялось!

А где расхождение-то?...
Как же без пополам, когда вот она -- двойка в знаменателе.

dovlato в сообщении #595715 писал(а):
Ваш подход как бы "повисает" для сферы нулевой толщины

Нет, не повисает. Если честно расписать силу интегрированием плотности на напряжённость по радиусу, то оказывается, что в пределе бесконечно тонкой стенки результат зависит лишь от суммарной поверхностной плотности, но не от распределения плотностей по радиусу.

Ewert, я, похоже, просто поначалу неверно вас понял. Если вы согласны с тем, что $w=p$, то мы с вами не имеем разногласий. Что до вопроса о сфере нулевой толщины.. ну, коли предел приводит к тому же результату - то всё о кей.
Кстати, квазиолимпийская задача тут может быть такой: в космич. пространстве пылинки образуют однородную тонкую сферу заданного радиуса, с заданным зарядом и массой. Найти конечную скорость их разлёта. Определить условия, при которых этот разлёт вообще начнётся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group