Заряженные сферы

[obar]

Имеются шар и сфера одинакового радиуса $R$, равномерно заряженные до заряда $q$ (шар -- по объему, сфера по поверхности). Если разрезать их диаметральной плоскостью на две половинки, то между половинками возникнет сила отталкивания.

1) Не проводя ни каких вычислений попробуйте определить, какая из сил больше: сила отталкивания между половинками шара ($F_1$) или половинками сферы($F_2$)?

2) Найти силу взаимодействия между двумя половинками шара, равномерно заряженных по объему до плотностей $\rho_1$ и $\rho_2$.

3) То же для двух половинок сферы, заряженных до плотностей $\sigma_1$ и $\sigma_2$.

[dovlato]

1. Думаю, сильнее будут отталкиваться половинки шара. Соображение такое: мысленно рассечём оба тела достаточно большим числом равноотстоящих плоскостей, параллельными плоскости, рассекающей тело пополам. Так вот, у сферы заряды, попадающие в промежуток между соседними пл-стями, равны друг другу (легко доказать). Тогда как у шара, что очевидно без доказательств, такие заряды будут стремиться к нулю по мере удаления. Ну и, интуитивно, силы расталкивания должны быть больше там, где бо`льшие заряды в меньшей степени пространственно разнесены.
2. Плотность энергии поля вне тела

$$w=\frac{\varepsilon_0}{2}(\frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R^2})^2$$

Значит, на поверхности сферы действует давление расталкивающих тел, численно совпадающее с плотность энергии w. Если взять интеграл по сфере, беря составляющую элементарных сил давления, перпендикулярных секущей плоскости, то результирующая сила расталкивания составляет (как будто, если не наврал)

$$f=\frac{q^2}{16\pi \varepsilon_0R^2}$$

3. С шаром, видимо, надо, в принципе, какую-то подобную функцию интегрировать по r от 0 до R. На каждую подсферу будут действовать расталкивающие силы, созданными только внутренними зарядами. Кстати, можно при желании задаться плотностью заряда $\rho=\rho(R)$.

[obar]

По первому пункту -- вывод правильный.

2) Ответ неверен. По данному решению получается, что с такой же силой должны расталкиваться и половинки сферы, что противоречит вашему выводу из п1. Кроме того, в условии предлагается найти силу взаимодействия, когда половинки шара заряжены с разной плотностью.

3) В случае сферы ответ можно получить не прибегая к интегрированию (и даже обобщить на случай неравновеликих частей).

[dovlato]

Как будто правильный п. 2 (?). Другое дело, извиняюсь - я по невнимательности расчёт провёл для $\sigma=\operatorname{const}$

$$f=\frac{\pi R^2\sigma^2}{\varepsilon_0}$$

Но если этот результат верен, то для разных поверхностных плотностей, очевидно, следует заменить квадрат $\sigma^2$ на произведение $\sigma_1\sigma_2$.
Вообще-то из общих соображений ясно, что сила пропорциональна $R^2\sigma_1\sigma_2$.

[obar]

И этот ответ неверен.

[ewert]

Ну со сферой всё довольно просто. Если $Q$ -- полный заряд сферы (пока что однородно заряженной), то напряжённость на внешней поверхности сферического слоя есть $\dfrac{Q}{R^2}$, на внутренней -- нулю, т.е. в среднем по слою $\dfrac{Q}{2R^2}$. Соответственно, давление, распирающее сферу, равно $\dfrac{Q\sigma}{2R^2}$. А сила расталкивания половинок, т.е. сила давления на диаметральное сечение, есть $\dfrac{Q\sigma}{2R^2}\cdot\pi R^2=\dfrac{Q^2}{8R^2}$.

Соответственно, если $q$ -- заряд половинки сферы, то те половинки расталкиваются с силой $\dfrac{q^2}{2R^2}$. А для половинок, однородно заряженных разными зарядами -- очевидно, с силой $\dfrac{q_1q_2}{2R^2}$.

Но! тут есть один нюанс. Самое начальное рассуждение формально корректно лишь для равномерного распределения плотности зарядов по толщине (бесконечно тонкого) сферического слоя. И надо ещё доказать, что та самая половинка не зависит от распределения по толщине.

Это можно делать в лоб. А можно подойти с другого конца: воспользоваться формулой для энергии системы зарядов и потом соотношением типа $P\,dV=dU$. Или гибридный вариант: указать на то, что по последнему варианту результат в любом случае окажется однозначным (поскольку потенциал, в отличие от напряжённости, при переходе сквозь сферу скачка не испытывает) и потому достаточно рассмотреть именно равномерное распределение зарядов по толщине. В общем, хоть как-то, но сей факт формально обосновывать придётся.

[dovlato]

Подход $Ewert$ вызывает у меня вот какие сомнения (подозреваю, и с $Obar$ мои расхождения те же самые).
Применим чисто энергетический подход. Плотность энергии поля есть

$$w=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$$

Нас интересует давление, испытываемое однородно заряженной сферой со стороны собственного эл. поля. Представим, что это давление уравновешено внешним давлением $p$ окружающего сферу газа (внутри неё - вакуум). Это означает (!), что если радиус сферы совершит малое виртуальное увеличение $dR$, то общая энергия поля уменьшится

$$dU= - wS dR$$

Это уменьшение произошло вследствие работы по выжиманию газа

$$dA=pSdR$$

И, поскольку $dU+dA=0$, приходим к равенству(без деления пополам!)

$$p=w$$

Какие здесь возражения?

[ewert]

dovlato в сообщении #595701 писал(а):

Это уменьшение произошло за счёт произведенной работой по выжиманию газа

Я лично не выжимал никакого газа. Я лично использовал лишь тот факт, что если понятие давления как силы, действующей на единицу площади, в данной задаче осмысленно -- то для силы, действующей по соединяющей окружности, уже математически вполне эквивалентно использовать газовую модель.

А вот как посчитать давление (коль скоро уж оно имеет смысл) -- это уже совершенно другой вопрос, к газам никакого отношения не имеющий. Просто у нас есть некое внешнее давление, сдерживающее сферу. Неважно, какой природы. И при бесконечно малом и бесконечно медленном изменении радиуса работа сил давления равна изменению потенциальной энергии зарядов, вот и всё.

Кроме того, не забывайте, что есть и тупой первый вариант: честно проинтегрировать напряжённость, умноженную на плотность, вдоль толщины слоя. Неэстетично, конечно, но результат тоже даст.

Да, могу привести и ещё один аргумент (пусть и несколько жульнический): если уж мы верим, что задача вообще осмысленна, т.е. что допускает конкретный ответ независимо от распределения по толщине -- то достаточно рассматривать равномерное распределение.

[dovlato]

Да, но откуда-то расхождение взялось! Где-то сбой.. Я, конечно, если есть возможность, всегда предпочту энергетический подход - лично мой опыт показывает, что при этом я реже ошибаюсь.
Ваш подход как бы "повисает" для сферы нулевой толщины - тогда как для энергетического метода распределение по толщине вообще роли не играет (для тонкой сферы, конечно). Но ведь интуиция подсказывает, что - и не должно играть.

[ewert]

dovlato в сообщении #595715 писал(а):

Да, но откуда-то расхождение взялось!

А где расхождение-то?...

dovlato в сообщении #595701 писал(а):

приходим к равенству(без деления пополам!)

$$p=w$$

Какие здесь возражения?

dovlato в сообщении #595701 писал(а):

Плотность энергии поля есть

$$w=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}$$

Как же без пополам, когда вот она -- двойка в знаменателе.

dovlato в сообщении #595715 писал(а):

Ваш подход как бы "повисает" для сферы нулевой толщины

Нет, не повисает. Если честно расписать силу интегрированием плотности на напряжённость по радиусу, то оказывается, что в пределе бесконечно тонкой стенки результат зависит лишь от суммарной поверхностной плотности, но не от распределения плотностей по радиусу.

[obar]

ewert в сообщении #595644 писал(а):

Если $Q$ -- полный заряд сферы (пока что однородно заряженной), то напряжённость на внешней поверхности сферического слоя есть $\dfrac{Q}{R^2}$, на внутренней -- нулю, т.е. в среднем по слою $\dfrac{Q}{2R^2}$.

Подобные рассуждения легко избежать следующим приемом. Выделим небольшой участок поверхности сферы. Поле вне сферы (но у самой ее поверхности) складывается из поля самого участка и поля всех других частей сферы. Из теоремы Гаусса находим, что поле, создаваемое самим участком вдвое меньше полного поля сферы. Значит и поле всех других зарядов составляет половинку полного поля. И именно в этом поле и находится рассматриваемый участок, это поле и определяет силу.

dovlato в сообщении #595701 писал(а):

то общая энергия поля уменьшится

$$dU= - wS dR$$

Вот это выражение и неверно. Во-первых, появится поле и между половинками сферы. Во-вторых, и вне сферы изменение энергии будет не таким. Нарисуйте на бумаге две половинки сферы и силовые линии от них. А теперь разорвите лист пополам и раздвиньте половинки. Между сферами образуется щель, которая должна быть заполнена полем. Какая там плотность энергии?

[ewert]

obar в сообщении #595846 писал(а):

Вот это выражение и неверно. Во-первых, появится поле и между половинками сферы.

dovlato имел здесь в виду не раздвижение половинок, а раздувание всей сферы. Тогда всё верно.

obar в сообщении #595846 писал(а):

Поле вне сферы (но у самой ее поверхности) складывается из поля самого участка и поля всех других частей сферы. Из теоремы Гаусса находим, что поле, создаваемое самим участком вдвое меньше полного поля сферы.

Неубедительно. Поле, создаваемое другими частями -- где конкретно? Оно ведь очень резко меняется в пределах вырезаемого пятна, так что тут ещё пыхтеть и пыхтеть для оправдания.

[obar]

ewert в сообщении #595856 писал(а):

dovlato имел здесь в виду не раздвижение половинок, а раздувание всей сферы. Тогда всё верно.

Да, действительно, неправильно понял. Тогда должно быть все правильно, а ошибка чисто алгебраическая.

ewert в сообщении #595856 писал(а):

Поле, создаваемое другими частями -- где конкретно?

В месте нахождения выделенного участка.

ewert в сообщении #595856 писал(а):

Оно ведь очень резко меняется в пределах вырезаемого пятна, так что тут ещё пыхтеть и пыхтеть для оправдания.

Неоднородность поля обусловлена полем самого выделенного участка, а оно нам не интересно. Поле от остальных частей сферы весьма однородно.

[ewert]

obar в сообщении #595858 писал(а):

Поле от остальных частей сферы весьма однородно.

Вот и вопрос: в каких пределах оно однородно?...

Как минимум придётся поразмахивать руками насчёт того, что краевыми эффектами вблизи границ участка можно пренебречь, в каком смысле можно и почему. Да и то, что поле остальной части существенно не меняется по толще вырезаемого участка -- тоже, формально говоря, надо как-то обосновывать. (Конечно, последнее "очевидно"; но соображения здравого смысла -- это ещё не аргумент.)

[dovlato]

ewert в сообщении #595799 писал(а):

dovlato в сообщении #595715 писал(а):

Да, но откуда-то расхождение взялось!

А где расхождение-то?...
Как же без пополам, когда вот она -- двойка в знаменателе.

dovlato в сообщении #595715 писал(а):

Ваш подход как бы "повисает" для сферы нулевой толщины

Нет, не повисает. Если честно расписать силу интегрированием плотности на напряжённость по радиусу, то оказывается, что в пределе бесконечно тонкой стенки результат зависит лишь от суммарной поверхностной плотности, но не от распределения плотностей по радиусу.

Ewert, я, похоже, просто поначалу неверно вас понял. Если вы согласны с тем, что $w=p$, то мы с вами не имеем разногласий. Что до вопроса о сфере нулевой толщины.. ну, коли предел приводит к тому же результату - то всё о кей.
Кстати, квазиолимпийская задача тут может быть такой: в космич. пространстве пылинки образуют однородную тонкую сферу заданного радиуса, с заданным зарядом и массой. Найти конечную скорость их разлёта. Определить условия, при которых этот разлёт вообще начнётся.