Доказать что уравнение имеет положительный корень

[goganchic]

Пересматриваю первые главы Математического анализа В. А. Зорича. Наткнулся на такое задание (гл. 2 пар. 2 упр. 19. а): покажите, что уравнение $x^n = a$ при $n \in \mathbb{N}, a > 0 $ имеет положительный корень (обозначаемый $\sqrt[n]{a}$ или $a^{1/n}$).

Что-то меня переклинило и я не могу понять куда здесь копать. Можно попробовать сказать, что по теореме Дедекинда существует сечение в множестве действительных чисел для которого с одной стороны все числа меньше либо равны искомому корню, а с другой - больше (точнее сравнивать не сами числа, а числа возведенные в степень n), но что-то мне это кажется неубедительным. Подскажите пожалуйста, в какую сторону копать с доказательством существования положительного корня данного уравнения.

[Профессор Снэйп]

Функция $f(x) = x^n$ непрерывна, на полуинтервале $[0, +\infty)$ пробегает все промежуточные значения между $0$ и $+\infty$.

Это если задача после непрерывных функций. А если до... сечение подойдёт.

[goganchic]

а разве можно такие фокусы с сечениями проделывать? Т.е. сначала сказать, что существует сечение x где с одной стороны все числа меньше или равные x, а с другой - больше x, а потом возвести обе части в степень n и сказать что сечение (или неравенства) сохранилось?

p.s. что насчет положительного корня? Куда копать на предмет того, что корень именно положительный? С одной стороны очевидно, что если число положительное, то существует положительное число равное корню n-ой степени из исходного чила, но как доказать это формально?

[Joker_vD]

goganchic в сообщении #595032 писал(а):

а разве можно такие фокусы с сечениями проделывать? Т.е. сначала сказать, что существует сечение x где с одной стороны все числа меньше или равные x, а с другой - больше x, а потом возвести обе части в степень n и сказать что сечение (или неравенства) сохранилось?

А почему нет? Вы умножать числа, определяемые сечениями, умеете?

[ewert]

Сечения (в смысле вещественные числа ваще) на данном этапе должны уже считаться пройденными. Как и непрерывность степенной функции. Как и обратимость непрерывной и монотонной.

Всё остальное -- не более чем мазохизм.

[goganchic]

доказывать это утверждение нужно по аналогии с утверждением об иррациональности числа $\sqrt{2}$, соответственно доказательство состоит из двух частей:

• доказательство что число $\sqrt[n]{a}$ существует
• доказательство того что $(\sqrt[n]{a})^n = a$

С первым пунктом все просто, рассматриваем два множества таких что все элементы одного из них строго меньше элементов другого, а потом по аксиоме полноты говорим что существует число между ними.

Со вторым пунктом нужно доказать методом от противного что число $(\sqrt[n]{a})^n$ не может быть больше a или меньше a. На этом я снова застрял При доказательстве иррациональности числа $s=\sqrt{2}$ приводятся такие утверждения:

• если бы число $s^2$ было бы меньше 2, то квадрат числа $s + \frac{2-s^2}{3s}$ большего чем s был бы меньше 2
• если бы число $s^2$ было бы больше 2, то квадрат числа $s - \frac{2-s^2}{3s}$ меньшего чем s был бы больше 2

В этих утверждениях все понятно, потому что достаточно легко возвести укзанные числа в квадрат и провести оценки сверху, но когда мы говорим не о квадрате а о n-ой степени - то тут возникает бином Ньютона и я затрудняюсь построить оценки. Подскажите пожалуйста, какие числа выбрать в моем случае и как провести оценки.

Заранее спасибо!

[ewert]

goganchic в сообщении #599946 писал(а):

доказывать это утверждение нужно по аналогии с утверждением об иррациональности числа $\sqrt{2}$,

Хороший пример того, как не следует ставить задачу. Конечно, следовало доказать непрерывность и строгую монотонность функции $x^n$, а потом сослаться на общую теорему. То, что пытаетесь сделать Вы -- это фактически неявно доказать непрерывность, не называя её по имени.

Ну кустарничать -- так кустарничать. Допустим, строгая монотонность у нас уже есть. Пусть $x_0$ -- разделяющий элемент сечения $A=\{x:\;x^n\leqslant a\}$ и $B=\{x:\;x^n>a\}$, т.е. верхняя граница первого промежутка и нижняя граница второго. Кстати, заранее неизвестно, кому из них он принадлежит, но задумываться об этом и не нужно. А вот о чём, между прочим, задуматься следует -- это о доказательстве того, что такой элемент существует, т.е. что это действительно промежутки.

Ну допустим, с этим тоже всё в порядке. Тогда просто выберите две (любые) последовательности $y_k\to x_0-0$ и $z_0\to x_0+0$. В силу монотонности степени $y_k^n\leqslant x_0^n\leqslant z_k^n$, и при этом $y_k^n\leqslant a\leqslant z_k^n$. Теперь для доказательства того, что $x_0^n=a$, достаточно показать, что $z_k^n-y_k^n\to0$. А для этого не нужно никаких биномов Ньютона:

$z_k^n-y_k^n=(z_k-y_k)(z_k^{n-1}+z_k^{n-2}y_k+z_k^{n-3}y_k^2+\ldots+y_k^{n-1}),$

и вторая скобка грубо оценивается сверху, например, через $n\cdot(2x_0)^n$ (если выбрать $z_k<2x_0$).

[goganchic]

Уважаемый ewert. Огромное спасибо за ответ, абсолютно согласен что используя непрерывность функции все доказывается легко и понятно, но я хочу понять задумку автора учебника, а именно, что он ждет от студента первого курса давая такое задание в гл. 2 "Действительные (вещественные) числа". До этого момента не было ни определения предела последовательности, ни определения предела функции, ни сходимости ряда - ничего в общем, голая аксиоматика действительных чисел При этом несколькими страницами ранее автор рассматривает способ доказательства существования иррационального числа $\sqrt{2}$ которое как раз и состоит из двух частей: доказательства существования числа и того факта, что его квадрат равен 2. Мне все же кажется, что тут и ожидается кустарность, попытка доказательства частного случая непрерывности функции и в следующей главе автор опишет обобщение данного факта. Разве нет?

[AV_77]

Откройте Фихтенгольца, "Математический анализ", первый том.

[ewert]

goganchic в сообщении #600462 писал(а):

До этого момента не было ни определения предела последовательности, ни определения предела функции,

Здесь это, формально говоря, и не нужно: здесь используется лишь нулевой предел, поэтому всё вполне можно реализовать и на языке эпсилон-дельт. Последовательности использовать тоже не обязательно, достаточно просто указать на возможность выбора $y<x_0$ и $z>x_0$ со сколь угодно маленьким $z^n-y^n$. Конечно, выйдет некоторое уродство; однако я совсем не уверен, что можно обойтись в этой задаче примитивными средствами так, чтобы не получилось того или иного уродства (напомню, что само существование $x_0$, притом желательно ненулевого, требует некоторого содержательного доказательства). До введения понятий предела и непрерывности -- задачка явно преждевременна.

-- Сб июл 28, 2012 18:21:20 --

goganchic в сообщении #600462 писал(а):

При этом несколькими страницами ранее автор рассматривает способ доказательства существования иррационального числа $\sqrt{2}$ которое как раз и состоит из двух частей: доказательства существования числа и того факта, что его квадрат равен 2.

Вот эта формулировка, кстати, мне с самого начала сильно не понравилась. Не доказательство существования числа, а его конструирование и уже потом доказательство чего-то.