Вакуум электромагнитного поля

[EvilPhysicist]

Пусть у нас есть электромагнитное поле в пустоте. $ \varepsilon=\mu=c=k=1 $.
Ищем решения уравнений максвелла с калибровкой Лоренца - получаем систему $ \begin{cases} \partial_\mu \partial^\mu A^\nu =0 \\ \partial_\mu A^\mu =0 \end{cases} $. Плюс ещё потребуем чтобы $ A^0=0$ получим систему

$$\begin{cases} \cfrac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2} - \Delta \vec A =0 \\ \nabla \vec A =0 \end{cases} $$

.

Этой системе, очевидно, удовлетворяет решение $\vec A=0$, но $ 0= \vec A_0 e^{i(\omega t - \vec k \vec r)} - \vec A_0 e^{i(\omega t - \vec k \vec r)} $, обозначая $ \vec A^+ = \vec A_0 e^{i(\omega t - \vec k \vec r)}, \vec A^- = -\vec A_0 e^{i(\omega t - \vec k \vec r)} $.

Подставляя уравнения $\vec A^+, \vec A^-$ в исходную систему получим очевидные условия $ \vec A_0 \vec k =0, \omega^2 = \vec k^2 $.

Далее, вычислим плотность энергии для каждой из волн $ w^{\pm} = \cfrac{k^2 + \omega^2}{8\pi }A_0^2 $, соответственно для пары волн $ w_{dub} = \cfrac{k^2+\oemga^2}{4\pi} A_0^2 = \cfrac{\omega^2}{2\pi} A_0^2 $.

А теперь, у нас нету никаких ограничений на частоты волн $\vec A^{\pm}$, по этому плотность энергии для всего спектра волн будет $ w =\int\limits_{\mathbb R} \cfrac{1}{2\pi} \omega^2 A_0^2 d \omega $, который расходится.

Так вот, это нормальный результат?

Его в принципе можно улучшить, сказав, что $ A_0^2 =\lambda e^{\frac{\omega^2}{T}} $, тогда интеграл будет сходиться. Но тогда появляется какая-то температура вакуума, что немного странно.

Так как быть с такими результатами?

P.S. Подозреваю, что я делаю то, что до меня уже сделали, по этому буду благодарен за ссылки на литературу.

[espe]

$w_{dub}\ne w^++w^-$
$w_{dub}\sim(\vec{A}^++\vec{A}^-)^2$
Если быть более точным, то плотность энергии зависит не совсем от $\vec{A}$, а от напряженностей.
Но главная ошибка не в этом.

[EvilPhysicist]

espe в сообщении #594894 писал(а):

Если быть более точным, то плотность энергии зависит не совсем от $\vec{A}$, а от напряженностей.

Да, я знаю $ \vec E:+= - \cfrac{\partial \vec A^+}{\partial t} = i \omega \vec A^+ $, $ \vec E^2 = \omega^2 A_0^2 $. Аналогично для $\vec H$.

А вот то, что

espe в сообщении #594894 писал(а):

$w_{dub}\sim(\vec{A}^++\vec{A}^-)^2$

Это да, что-то я сглупил.

-- 13.07.2012, 17:00 --

Собственно дальше всё понятно