Ряд интересных задач

[neo66]

Да, я невнимательно прочитал решение.

[VSSISTU]

Уважаемые математики предлагаю пару интересных задач:
1) Шесть ниточек девушка зажимает в руке так, чтобы концы торчали сверху и снизу; подруга связывает конци снизу попарно и сверху попарно. Найти вероятность того, что связанные нитки образуют кольцо.
5) Линия задана в полярной системе координат как r=r(\phi) показать, что в точках перегиба кривой выполяется соотношение 2(r'_\phi )^2 - r*r''_{\phi\phi} +r^2 = 0
если можно с комментариями

[RIP]

5) $x(\varphi)=r(\varphi)\cos\varphi$, $y(\varphi)=r(\varphi)\sin\varphi$. Если в точке перегиба $x'(\varphi_0)\ne0$, то в окрестности этой точки можно считать $y$ функцией от $x$. Искомое условие - это просто $\frac{d^2y}{dx^2}=0$. Аналогично в случае $y'(\varphi_0)\ne0$. Если же $x'(\varphi_0)=y'(\varphi_0)=0$, то $r(\varphi_0)=r'(\varphi_0)=0$... Не знаю, как уважаемые математики, но лично я эту задачу интересной бы не назвал, да и олимпиадной тоже.

[незваный гость]

RIP писал(а):

Если в точке перегиба $x'(\varphi_0)\ne0$, то

А если равна, то можно повернуть систему координат. В общем-то, технический результат... стандартная техника, учебная задача из аналит. геометрии.

[Macavity]

VSSISTU писал(а):

Уважаемые математики предлагаю пару интересных задач:
1) Шесть ниточек девушка зажимает в руке так, чтобы концы торчали сверху и снизу; подруга связывает конци снизу попарно и сверху попарно. Найти вероятность того, что связанные нитки образуют кольцо.
если можно с комментариями

У меня получилось, что вероятность этого события больше 0.5.
Верхнии концы девушка может связывать как хочет (три раза разные пары нитей).
А потом придется связывать внизу. Выбрав любую нить, она может связать ее с любой из пяти оставшихся и только в одном случае из пяти совершит "промах". Потом она выберет одну нить из четырех наугад и будет связывать ее с одной из трех, рискуя в одном случае из трех совершить промах...

p=1-$\frac{1}{5}$-$\frac{4}{5}$$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{15}$

С другой стороны, задача напомнила мне известный парадокс с киданием хорды в окружность. Может если девушка будет по другому выбирать нити, то и результат будет другой...