Количество способов разбиения

[Ktina]

Будем рассматривать те и только те натуральные числа, в десятичной записи которых нет цифр, отличных от 0 и 1.

Требуется разбить множество всех таких чисел на два непустых непересекающихся подмножества так, чтобы в десятичной записи суммы любых двух различных чисел из одного и того же подмножества было не менее двух единичек.

Сколькими способами это можно сделать?

[Dave]

Единственный способ (с точностью до перестановки множеств), удовлетворяющий условию - это когда в одном множестве все числа, в которых нечётное количество единиц, а в другом - те, в которых чётное количество единиц.
Действительно, такое разбиение удовлетворяет условию, т.к. если мы возьмём два различных числа из одного множества, то они не могут отличаться ровно на одну цифру, значит отличаются минимум на две, и, т.к. переноса при сложении нет, в этих разрядах в сумме будет стоять $0+1=1+0=1$.
С другой стороны, если два числа рассматриваемого вида отличаются ровно в одном разряде, то их сумма будет содержать ровно одну единицу в этом же разряде, поэтому они должны находиться в разных множествах разбиения. Но любое число можно преобразовать к $1$ посредством нескольких шагов, в каждом из которых будет меняться только одна цифра, причём чётность шагов такого перехода будет противоположна чётности суммы цифр взятого числа.