Непрерывность, ряд Маклорена

[samuil]

1) Расположите следующие утверждения в виде логической цепочки, где каждое
следующее утверждение следует из предыдущего:
а) функция $f(x)$ непрерывна в окрестности точки $a$,
б) функция $f(x)$ дифференцируема в окрестности $a$,
в) функция $f(x)$ ограничена в окрестности точки $a$,
г) функция $f(x)$ имеет конечный предел в точке $a$,

Я подозреваю, что б -> г -> а -> в

Так ли это?

2) Разложить в ряд Маклорена

$f(x)=x\cdot \sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)$

Не уж-то здесь можно выписать все члены разложения, используя значок суммы?

Тут нужно пользоваться разложением $\sin x$ или в лоб по формуле тейлора считать?

[Trius]

samuil в сообщении #594144 писал(а):

1)

2) Разложить в ряд Маклорена

$f(x)=x\cdot \sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)$

Не уж-то здесь можно выписать все члены разложения, используя значок суммы?

Тут нужно пользоваться разложением $\sin x$ или в лоб по формуле тейлора считать?

Тут можно избавиться от квадрата синуса, используя формулы понижения степени.

[samuil]

Trius в сообщении #594153 писал(а):

Тут можно избавиться от квадрата синуса, используя формулы понижения степени.

$$f(x)=x\cdot \sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=0,5x(1-\cos x)=0,5x(1-(1-\frac{x^2}{2}+...))=\dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\dfrac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n)!}$$

Вот так?

[Trius]

Есть неточности.

[samuil]

Trius в сообщении #594162 писал(а):

Есть неточности.

В самом начале были неточности. А теперь верно? А первая задача - верна?

[Trius]

samuil в сообщении #594182 писал(а):

Trius в сообщении #594162 писал(а):

Есть неточности.

В самом начале были неточности. А теперь верно? А первая задача - верна?

Там минус потерян, и суммирование не с 0.

[samuil]

Ок, спасибо, исправился

$$f(x)=x\cdot \sin^2\Big(\dfrac{x}{2}\Big)=0,5x(1-\cos x)=0,5x(1-(1-\frac{x^2}{2}+...))=\dfrac{1}{2}\cdot \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^{2n+1}}{(2n)!}$$

[gefest_md]

samuil в сообщении #594144 писал(а):

1) Расположите следующие утверждения в виде логической цепочки, где каждое
следующее утверждение следует из предыдущего:
а) функция $f(x)$ непрерывна в окрестности точки $a$,
б) функция $f(x)$ дифференцируема в окрестности $a$,
в) функция $f(x)$ ограничена в окрестности точки $a$,
г) функция $f(x)$ имеет конечный предел в точке $a$,

Я подозреваю, что б -> г -> а -> в

Так ли это?

Я, как большой любитель, сказал бы, что а) и г) надо поменять местами.

[samuil]

А из того, что функция непрерывна в точке следует ли то, что она непрерывна в окрестности этой точки?

[tavrik]

нет
и даже из дифференцируемости этого не следует.
для этих случаев есть известные контрпримеры: $xD(x)$ и $x^2D(X)$ соответственно.
в точке $x=0$, $D(x)$ - функция Дирихле