trigonometric equation

[Keter]

$2 + \cos x = \sqrt3 \bigg| \sin \dfrac{3x}{4} \bigg| \sin x$, также даётся ответ $x=\dfrac{2 \pi}{3} + 4 \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Обозначим $\dfrac{x}{2}=y$

$$2 \sin^2 y + 2 \cos^2 y + \cos^2 y - \sin^2 y = 2 \sqrt3 \bigg| \sin \dfrac{3x}{4} \bigg| \sin y \cos y$$

$$\sin^2 y - 2 \sqrt3 \bigg| \sin \dfrac{3x}{4} \bigg| \sin y \cos y + 3 \cos^2 y = 0$$

Разделив на $\cos^2 y$ получим

$$\tg^2 y - 2 \sqrt3 \bigg| \sin \dfrac{3x}{4} \bigg| + 3 = 0$$

$D = 3 \sin^2 \dfrac{3x}{4} - 3 = -3 \cos^2 \dfrac{3x}{4}$, значит уравнение имеет решение только при $\cos^2 \dfrac{3x}{4} = 0; x = \pm \dfrac{2 \pi}{3} + \dfrac{4 \pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

$\tg \dfrac{x}{2} = \pm \sqrt3; x = \pm \dfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ( здесь нужно ставить $\pm$ из-за модуля?)

Что дальше, как мне соотнести корни или периоды, что вообще нужно делать, как у них такой ответ получился?

[Someone]

Keter в сообщении #593920 писал(а):

Разделив на $\cos^2 y$ получим

$$\tg^2 y - 2 \sqrt3 \bigg| \sin \dfrac{3x}{4} \bigg| + 3 = 0$$

Вообще-то,

$$\tg^2y-2\sqrt 3\left|\sin\frac{3x}4\right|\tg y + 3 = 0.$$

Keter в сообщении #593920 писал(а):

уравнение имеет решение только при $\cos^2 \dfrac{3x}{4} = 0; x = \pm \dfrac{2 \pi}{3} + \dfrac{4 \pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Уравнение $\cos\frac{3x}4=0$ имеет решение $\frac{3x}4=\frac{\pi}2+\pi k$, откуда $x=\frac{2\pi}3+\frac{4\pi}3k$, $k\in\mathbb Z$. И никаких "$\pm$" не требуется.

Keter в сообщении #593920 писал(а):

$\tg \dfrac{x}{2} = \pm \sqrt3; x = \pm \dfrac{2 \pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ ( здесь нужно ставить $\pm$ из-за модуля?)

Это неверно. Так как $\cos\frac{3x}4=0$, то $\sin\frac{3x}4=\pm 1$, поэтому уравнение имеет вид

$$\tg^2y-2\sqrt 3\tg y + 3 = 0,$$

откуда $\left(\tg y-\sqrt 3\right)^2=0$ и $\tg y=\sqrt 3$ $\Rightarrow$ $y=\frac{\pi}3+\pi n$ и $x=\frac{2\pi}3+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

Keter в сообщении #593920 писал(а):

Что дальше, как мне соотнести корни или периоды, что вообще нужно делать, как у них такой ответ получился?

Ну, формально у нас получается система уравнений

$$\begin{cases}x=\frac{2\pi}3+\frac{4\pi}3k,\ k\in\mathbb Z,\\ x=\frac{2\pi}3+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\end{cases}$$

откуда

$$\frac{2\pi}3+\frac{4\pi}3k=\frac{2\pi}3+2\pi n.$$

Вот это уравнение Вам и надо решить в целых числах $k$ и $n$.

[ewert]

Вообще-то решается оно короче. Известно, что уравнение вида $a\sin x+b\cos x=1$ имеет решения только при $a^2+b^2\geqslant1$ (поскольку известно, как оно тогда решается). У нас $\frac{\sqrt3}2\gamma\sin x-\frac12\cos x=1$, где $\gamma=\left|\sin\frac{3x}4\right|\leqslant1$ и, следовательно, решение возможно только при $\sin\frac{3x}4=\pm1$, т.е. при $\frac{3x}4=\frac{\pi}2+\pi k$. Тогда исходное уравнение сводится к $\frac{\sqrt3}2\sin x-\frac12\cos x=1$, т.е. $\cos(x+\frac{\pi}3)=-1$, т.е. $x+\frac{\pi}3=\pi+2\pi n$ и далее по тексту.

[Keter]

Спасибо, понял свою ошибку с модулями. ewert, спасибо за новый метод решения.

[ewert]

Пожалуйста. Тут идея вот в чём (и она достаточно общая -- в том, что касается учебных задач). Если корень из трёх заменить на коэффициент общего вида, то уравнение (с учётом патологического разброса аргументов синусов/косинусов) становится явно невменяемым. Значит, имелся в виду некий особый случай; его и стоит ловить.