интересные неравенства

[LAPLASS]

Подскажите пожалуйста, как доказать неравенство $n!\geqslant\ n^\frac{n}{2}$

[ewert]

По индукции.

[mihailm]

сгруппируйте в факториале первое с последним, второе с предпоследним и т.д.

[LAPLASS]

mihailm в сообщении #593118 писал(а):

сгруппируйте в факториале первое с последним, второе с предпоследним и т.д.

а что это даст, я попробовал ничего не вышло!!!

-- 07.07.2012, 19:59 --

А вот еще неравенство, требуется доказать:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}>\frac{1}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}}$

[kw_artem]

LAPLASS в сообщении #593127 писал(а):

mihailm в сообщении #593118 писал(а):
сгруппируйте в факториале первое с последним, второе с предпоследним и т.д.

а что это даст, я попробовал ничего не вышло!!!

если n -- четное, то $1\cdot n \geq n, 2\cdot (n-1)\geq n, 3\cdot (n-2)\geq n,\ldots,\frac n 2 (\frac n 2 +1)\geq n$ -- всего $\frac n 2$ штук и тогда $1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n={n!}\geq n^{\frac n 2}$
если n -- нечетное, доказательство почти такое же

[LAPLASS]

спасибо за оригинальное доказательство!

[kw_artem]

LAPLASS в сообщении #593158 писал(а):

если n -- нечетное, доказательство почти такое же

нет, здесь немного проблемнее:
$n=2m+1$ -- нечетное, опять составляем неравенства: $1\cdot n\geq n,2\cdot(n-1)\geq n,\ldots$ и т.д. -- $\lfloor \frac n 2 \rfloor$ штук, но у нас останется без пары одно число, находящееся так сказать "посередине" (думаю поняли) и равное $\lceil \frac n 2 \rceil$. Произведение всех этих чисел, кроме среднего дает нам $\geq n^{\lfloor \frac n 2 \rfloor}$, откуда с присоединением этого числа произведению(среднего)-- в итоге чего получится полноценный факториал,-- следует ${n!}\geq \lceil \frac n 2 \rceil\cdot n^{\lfloor \frac n 2 \rfloor}$. Ну а так как при $n\geq 4 $ верно $\lceil \frac n 2 \rceil \geq n^{0.5}$, то в результате получаем

$${n!}\geq n^{0.5}\cdot n^{\lfloor \frac n 2 \rfloor}=n^{0.5+\lfloor \frac {2m+1} 2 \rfloor}=n^{0.5+m}=n^{\frac{1+2m} 2}=n^{\frac n 2},$$

чтд

-- 07.07.2012, 21:16 --

чуть не забыл , функции $\lfloor \cdot\rfloor$ и $\lceil \cdot\rceil$ -- "пол" и "потолок"

[Shadow]

При нечетном n доказателсьтво то же самое с дополнением $\frac{n+1}{2}\ge \sqrt n$
$(\sqrt n -1)^2\ge 0$

[arqady]

LAPLASS в сообщении #593127 писал(а):

А вот еще неравенство, требуется доказать:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}>\frac{1}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}}$

Оно неверно: $a=c=1$ и $b=d=2$.
Следуюшее неравенство уже верно.
Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq\frac{1}{\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}}$$

[LAPLASS]

Следуюшее неравенство уже верно.
Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq\frac{1}{\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}}$$

А где доказательство?

[Sergic Primazon]

LAPLASS в сообщении #593393 писал(а):

Следуюшее неравенство уже верно.
Для положительных $a$, $b$, $c$ и $d$ докажите, что:

$$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq\frac{1}{\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}}$$

А где доказательство?

А что тут доказывать? это просто Йенсен для $f(x)= \frac{x}{1+x}$

$LHS=bf(\frac{a}{b})+cf(\frac{d}{c}) \le (b+c)f(\frac{a+d}{b+c})=RHS$

[arqady]

LAPLASS в сообщении #593393 писал(а):

А где доказательство?

Вы считаете, что задачи нужно предлагать сразу с решениями?
Sergic Primazon, красиво!

[LAPLASS]

arqady в сообщении #593627 писал(а):

Вы считаете, что задачи нужно предлагать сразу с решениями?
Sergic Primazon, красиво!

нет я так не считаю,просто я еще не знаком со многими методами доказательства неравенств и не только,нахожусь так сказать на стадии их изучения.
У меня такая проблема. Я прочитал про неравенство Йенсена, однако желая применить его на практике
у меня возникают проблемы с подбором функции. Как это делать?

[arqady]

LAPLASS в сообщении #593745 писал(а):

Я прочитал про неравенство Йенсена, однако желая применить его на практике
у меня возникают проблемы с подбором функции. Как это делать?

Попробуйте следующее. Прочитайте решение Sergic Primazon. Поймите его, а затем попробуйте доказать это неравенство сами, не подглядывая в решение. Если не получается, повторите то же самое и так - пока не докажется, и так - с каждой новой задачей. Удачи!