Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним

[nglain]

Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним у группы : $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $

Пусть $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 : {e_1 , a} \times {e_2, b}$

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 : (e_1, e_2) ; (e_1, b) ; (a,e_2) ; (a,b) $

Подгруппы у неё:
$H_1 : (e_1 , e_2) $
$H_2 : (e_1 , e_2) ; (a , b) $
$H_3 : (e_1 , e_2) ; (e_1 , b) $
$H_4 : (e_1 , e_2) ; (a , e_2 ) $
$H_5 : (e_1, e_2) ; (e_1, b) ; (a,e_2) ; (a,b)$

А как дальше?

хм, а группа $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 $ Коммутативная? Если да то все подгруппы являются нормальными. А как дальше?

[tavrik]

http://ru.wikipedia.org/wiki/Четверная_группа_Клейна

[nglain]

Четвертая группа Клейна является прямым произведением циклических групп второго порядка $\mathbb{C}_2 \times \mathbb{C}_2$.

Группа Клейна является конечной коммутативной группой.

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ изоморфна $\mathbb{Z}_4$
А $\mathbb{C}_2 \times \mathbb{C}_2$ изоморфна $\mathbb{Z}_4$ значит и $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
А дальше?

[apriv]

nglain в сообщении #593438 писал(а):

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ изоморфна $\mathbb{Z}_4$

Упражнение: докажите, что $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ не изоморфна $\mathbb{Z}_4$.

[nglain]

apriv в сообщении #593447 писал(а):

Упражнение: докажите, что $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ не изоморфна $\mathbb{Z}_4$.

Пусть $\mathbb{Z}_2 : e_1 , a$
$ \mathbb{Z'}_2 : e_2 , b$
$ \mathbb{Z}_4 : e , c, c^2 , c^3$
Найдем порядок элемента $A=(a,b)$
$ c^2 = (a^2 , b^2 ) = (e_1 , e_2)$
Следовательно порядок элемента c не может быть выше 2.
Значит $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z'}_2$ не изоморфна $\mathbb{Z}_4$.
Так можно доказать?

[Профессор Снэйп]

Так ведь группа же абелева! Значит, все подгруппы будут нормальными.

К тому же всего 4 элемента в группе. И, значит, тупой перебор годится. Ясно, что есть одна подгруппа индекса 4, три подгруппы индекса 2 и одна подгруппа индекса 1. И фсё...

[nglain]

Профессор Снэйп,
Да но, как найти факторгруппы по ним?

[Профессор Снэйп]

По их порядку

Фактор по нулевой подгруппе, очевидно, изоморфен исходной группе. Фактор-группа по самой себе, очевидно, изоморфна нулевой (или единичной) группе.

Остаётся три фактора по подгруппам индекса 2. Несложно убедиться, что существует единственная (с точностью до изоморфизма) двухэлементная группа.

-- Пн июл 09, 2012 19:26:24 --

apriv в сообщении #593447 писал(а):

nglain в сообщении #593438 писал(а):

$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ изоморфна $\mathbb{Z}_4$

Упражнение: докажите, что $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ не изоморфна $\mathbb{Z}_4$.

Ну вот зачем издеваться над ТС?

В одной группе есть элемент порядка $4$, в другой нет...

[nglain]

найдем факторгруппу по подгруппе $H_2 : (e_1, e_2) ; (a, b)$.
Факторгруппа характеризуется смежными классами, для определенности найдем все левые смежные классы по подгруппе $H_2$:
1) $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$
2) ${ (a,b);(a,bb),(b,aa)(aa,bb)}$ = исходной группе ведь так?

[Профессор Снэйп]

Ой! Вы тут многабукафф написали, в которых я, если чё, ничерта не понимаю!

Но вообще всё довольнго просто. В $\mathbb{Z}_2^2$ ровно три подгруппы индекса $2$, каждая из них главная и порождается соответствующим элементом порядка $2$. А фактор-группа - это разбиение всей $\mathbb{Z}_2^2$ на две части... в одной из частей ноль и единственный элемент подгруппы, в другой всё остальное. Мне казалось, что всё это настолько прозрачно... Нафига Вы нас мучаете, скажите честно! Я не верю в то, что ситуация Вам ещё не ясна с предельной отчётливостью восприятия.

[nglain]

все, разобрался, спасибо