Задача про пирамиду

[ewert]

Надо достроить треугольник $DAS$ до параллелограмма $DASS'$ и треугольник $CBS$ до параллелограмма $CBSS'$ (вершины $S'$ у этих параллелограммов совпадут, т.к. их стороны $DA$ и $CB$ параллельны). Тогда диагональ $BS'$ правого параллелограмма (длина которой $\sqrt3$ нам известна) упрётся своим концом $S'$ в требуемую плоскость. И остаётся найти даже не проекцию точки $B$ на эту плоскость (она сама по себе не нужна), а всего лишь её расстояние до этой плоскости. Т.е. высоту $h_B$, опущенную из точки $B$ на левую грань $DAS$. Ну это почти сразу же получается из равенства объемов пирамиды, вычисленных двумя способами:

$2\cdot h_B\cdot S_{\text{бок}}=h_S\cdot S_{\text{осн}},$

где $S_{\text{бок}}=\frac{\sqrt3}4,$ $S_{\text{осн}}=1$ и $h_S=\frac{\sqrt2}2.$ Итого: $h_B=\frac{\sqrt2}{\sqrt3},$ откуда $\sin\alpha=\frac{h_B}{|BS'|}=\frac{\sqrt2}{3}.$

[kw_artem]

у меня получается $h_{B}=\frac {\sqrt{3}} 2$, а синус $0.5$. Может я ошибаюсь?

[ewert]

kw_artem в сообщении #593558 писал(а):

у меня получается $h_{B}=\frac {\sqrt{3}} 2$, а синус $0.5$. Может я ошибаюсь?

Может, и я ошибаюсь, но Вы, по-моему, действительно ошиблись: для угла $\beta$ угла наклона боковой грани к основанию будет $\cos\beta=\dfrac{1/2}{\sqrt3/2}=\dfrac1{\sqrt3}$, тогда $\sin\beta=\sqrt{\dfrac23}$ и $h_b=1\cdot\sin\beta$.

[Cute]

Проверил вычисления. У Вас, ewert, всё правильно. У kw_artem ошибка.

Ролик с картинкой к задаче, решённой способом ewert:

http://www.youtube.com/watch?v=l1Vj4c1R ... e=youtu.be

[kw_artem]

Да, сильно извиняюсь, ошибся в вычислениях. Вместо значения ребра взял значение апофемы.

[ewert]

(Оффтоп)

kw_artem в сообщении #593609 писал(а):

Вместо значения ребра взял значение апофемы.

в смысле наоборот, надо думать, хоть и неважно

[kw_artem]

(Оффтоп)

вот блин... опять!
ewert Вы прям острый глаз

[Батороев]

К пирамиде со стороны $BC$ "подкатим" вторую такую же с вершиной $S'$.
Образовавшаяся впадина между пирамидами $SS'BC$ образует правильный тетраэдр. Таким образом, задача сводится к нахождению в тетраэдре угла между апофемой $BE$ и основанием $S'BC$.

[svv]

Cute, в какой программе Вы это делаете? Я тоже так хочу.

[Cute]

(Оффтоп)

svv в сообщении #593701 писал(а):

Cute, в какой программе Вы это делаете? Я тоже так хочу.

(Оффтоп)

Геометрические чертежи выполнены в программе Cabri 3D.

[svv]

Большое спасибо!