Верхний предел суммы/произведения синусов

[Sonic86]

Вот такое можно как-нибудь найти:
1. $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sin(a_1n)+\ldots+\sin(a_kn), a_j\in\mathbb{Z}$
2. $\limsup\limits_{n\to+\infty}\sin(a_1n)\cdot\ldots\cdot\sin(a_kn), a_j\in\mathbb{Z}$
Аналогичные вопросы при замене $n$ на многочлен.
Идей нет только если пойти почитать 400 стр. про р.р. $\mod 1$.

[kw_artem]

А разве в первом примере при $a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_k\neq 0$ не должна получаться верхняя грань равная $k$?

[Sonic86]

kw_artem, я не знаю, не сталкивался с такими задачами. Если задачка простая - намекните, как оно решается, я сам попробую.

[kw_artem]

Сам не решал, но знаю одну теорему. Если вместо выражений под синусами рассмотреть $\{\frac{a_k n}{\pi}\}$, а по вышеуказанной теореме последовательность $(\{qn\})\limits_{n=1}^\infty$, где $q$--иррациональное число, плотна в $[0, 1]$. В примере тоже получается $\frac {a_k} \pi$ иррациональное число (конечно если только $a_k$ не равно нулю), значит множество частичных пределов каждого синуса в примере совпадает со всем отрезком $[-1, 1]$

-- 08.07.2012, 09:40 --

Где-то здесь теорема проскакивала.

[ewert]

kw_artem в сообщении #593317 писал(а):

значит множество частичных пределов каждого синуса в примере совпадает со всем отрезком $[-1, 1]$

По отдельности, но не для суммы или произведения. Например, ясно, что верхний предел для $\sin(n)+\sin(3n)$ равен $\frac8{3\sqrt3}$, а для $\sin(n)\cdot\sin(3n)$ -- $\frac12$. Похоже, что общего ответа в обозримой форме нет.

[kw_artem]

Да, вы правы. Интересно

[Sonic86]

ewert в сообщении #593327 писал(а):

По отдельности, но не для суммы или произведения. Например, ясно, что верхний предел для $\sin(n)+\sin(3n)$ равен $\frac8{3\sqrt3}$, а для $\sin(n)\cdot\sin(3n)$ -- $\frac12$.

О! Спасибо, иллюзорная ясность исчезла.
Вообще у меня пример возник для $\cos n^2 - \cos (n+1)^2$, там вероятно все-таки $2$, хотя может и нет,... Все-таки лучше узнать в общем...

[Vince Diesel]

А не будет ли ответ просто равен супремуму на прямой функции, если $n$ заменить на $x$?

ewert в сообщении #593327 писал(а):

По отдельности, но не для суммы или произведения. Например, ясно, что верхний предел для $\sin(n)+\sin(3n)$ равен $\frac8{3\sqrt3}$, а для $\sin(n)\cdot\sin(3n)$ -- $\frac12$. Похоже, что общего ответа в обозримой форме нет.

Во втором случае математика дает ответ на прямой $9/16$. Численно для целых $n$ подтверждается.

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #593358 писал(а):

Во втором случае математика дает ответ на прямой $9/16$

Да, конечно, $\frac9{16}$. Это я зачем-то написал сначала $\sin x\cdot(3\sin x-4\sin^3x)=3s^2-4s^3$, но поскольку всё-таки помнил, что степени одинаковой чётности, то после дифференцирования получил $6s-12s^3$. Пардон.