неопределённый интеграл

[gefest_md]

Найти интеграл от функции $f(x)=\frac{1}{1+\sqrt{x+1}}.$ Руководствовался одной из теорем о замене переменной. Получаю следующее:

$f\colon[-1,\ +\infty]\to\mathbb{R}.$ $f$ непрерывна.

Пусть $\varphi\colon[0,\ +\infty]\to[-1,\ +\infty],\quad\varphi(t)=t^2-1$

$\varphi$ биективна, $\varphi^{-1}(x)=\sqrt{x+1},$ и $\varphi^\prime(t)=2t.$ И вот из-за того, что $\varphi^\prime(0)=0$ я остановился. В доказательстве упомянутой теоремы эта производная появляется в знаменателе одного выражения. Здесь производная справа. Тем не менее есть повод спросить, что делать.

[ewert]

gefest_md в сообщении #592083 писал(а):

В доказательстве упомянутой теоремы эта производная

Вот пример того, как вредно иногда читать теоремы перед тем, как решать задачу.

У Вас замена на области определения исходной функции монотонна?... -- очевидно, да. Этого и достаточно.

[gefest_md]

Вот ещё две цитаты. Первая из Кудрявцева "Кракий курс мат. анализа" 1989, стр. 331, по поводу формулы: $\int f(x)\,\mathrm{dx}=\int f(\varphi(t))\varphi^\prime(t)\,\mathrm{dt}|_{t=\varphi^{-1}(x)}.$ (т.е. так я понял последнее сообщение)

Цитата:

Для того чтобы существовала функция $\varphi^{-1}$, обратная $\varphi$, в дополнение к условиям теоремы 1 достаточно, например, потребовать чтобы на расматриваемом промежутке $\Delta_t$ функция $\varphi(t)$ была строго монотонной. В этом случае, как исвестно ..., существует однозначная обратная функция $\varphi^{-1}$.

У Кудрявцева и не только про $\varphi^\prime\not=0$ не сказано ничего! И дальше та самая теорема:

Цитата:

Пусть функции $\varphi\colon I\to J$ и $f\colon J\to\mathbb{R}$ имеют следующие свойства:
а) $\varphi$ биективна, дифференцируема, производная не равна нулю на $I$,
б) функция $h=(f\circ\varphi)\varphi^\prime$ имеет первообразные (пусть $H$ одна из них).

Тогда
1) функция $f$ имеет первообразные,
2) функция $H\circ\varphi^{-1}$ - первообразная функции $f$, т.е. $\int f(x)\,\mathrm{dx}=H\circ\varphi^{-1}+C.$

[gefest_md]

Пришёл к выводу, что необходимо либо переопределить $f$ и $\varphi$ так, как надо, либо найти другую фунцию $\varphi.$

[Joker_vD]

Да зачем, господи? В формуле замены переменной в интеграле при доказательстве $\varphi'(x)\ne0$ нигде не требуется.

[lek]

К чему все эти мудрствования? Очевидно же, что

$$ \frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}=\frac12\left(dt-\frac{dt}{1+t}\right),\quad\text{для}\quad t=\sqrt{x+1} $$

[gefest_md]

Вот пример из книги Кудрявцева.

Цитата:

Вычислим, например, с помощью формулы ... интеграл $\int\sqrt{1-x^2}\mathrm{dx},\quad -1<x<1.$ Сделав замену переменного $x=\sin t,\quad -\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}$ получим ... и.т.д.

Почему же функции в данном примере определяются не на отрезке, а на интервале. И таких примеров встречаю в других учебниках.

[Nemiroff]

gefest_md в сообщении #592673 писал(а):

Почему же функции в данном примере определяются не на отрезке, а на интервале. И таких примеров встречаю в других учебниках.

Какая разница?

[gefest_md]

Nemiroff в сообщении #592676 писал(а):

Какая разница?

(Оффтоп)

А что, книга по метематике должна быть одна единственная для всех?

[Nemiroff]

Я, вообще-то, не про книги говорил.
Какая разница, отрезок или интервал?

[gefest_md]

Nemiroff, я думаю у Вас больше чем у меня опыта и должны знать, как я понимаю данную задачу.

[Nemiroff]

gefest_md в сообщении #592686 писал(а):

Nemiroff, я думаю у Вас больше чем у меня опыта и должны знать, как я понимаю данную задачу.

Я вот вообще не понял, что вы этим имели в виду.

[gefest_md]

Nemiroff в сообщении #592695 писал(а):

Я вот вообще не понял, что вы этим имели в виду.

То, что сказать больше нечего по этому вопросу. А у специалиста может быть.

[Cash]

Gefest_md, включение/исключение конечного числа точек не влияет на значение интеграла. Конечно, если подинтегральная функция не является сингулярной. Поэтому просто не заостряйте на этом внимание.

[Nemiroff]

gefest_md, я вас, собственно, пытался к этой мысли подтолкнуть:

Cash в сообщении #592698 писал(а):

включение/исключение конечного числа точек не влияет на значение интеграла.

gefest_md в сообщении #592697 писал(а):

То, что сказать больше нечего по этому вопросу. А у специалиста может быть.

Вашего русский языка понимать не можно.