Задачка из книги Литтлвуда

[Hypokeimenon]

Литтлвуд писал(а):

Свободный конец нерастяжимой пленки, скатанной в ролик, горизонтально прикреплен к наклонной плоскости и разматывается под действием силы тяжести.
Линия соприкосновения всегда имеет скорость нуль, и кинетическая энергия в процессе движения не уничтожается; когда же пленка полностью размоталась, произошла потеря потенциальной энергии, кинетическая же энергия стала равной нулю. Куда девалась энергия?

И правда, куда?

[Dan_Te]

Где-то видел подобную задачу. Вроде объясняли тем, что конец рулона шлепнет по наклонной поверхности, совершив какую-то работу.

[Hypokeimenon]

казалось бы, у бесконечно малого конца пленки конечная скорость, как может он совершить некую работу?

[Андрей123]

В данном случае интеграла энергии типа

$$m\frac{3v^2}{4}-m g h=const$$

нет, т.к. масса движущейся части рулона не постоянна.

[Hypokeimenon]

Но система же замкнута. И финальном положении имеет меньшую потенциальную энергию чем в начальном. Как это объяснить?

[Dan_Te]

Энергия куда-то ушла... Попробуем применить здравый смысл, а вдруг получится. Представим себе, что к тому концу рулона, который в центре, прикреплен тяжеленный металлический штырь. Мы держим рулон наверху наклонной плоскости, толкаем его, продолжая удерживать. Когда рулон разматывается до конца, штырь дергает наши руки, удерживающие рулон, мы гасим его энергию.

Однако никакого штыря там нет. Тем не менее, возникает следующая гипотеза: а если мы не будем никак удерживать рулон, и сила трения между пленкой рулона и наклонной плоскостью будет равна нулю, разве не будет уже размотавшаяся пленка сползать вниз?

Я провел маленький эксперимент, скатив рулон тонкой бытовой алюминиевой фольги по наклонной полированной поверхности, сила трения там очень мала. Так вот, если конец рулона, который сверху, не придерживать, он сразу начинает сползать вниз, еще в процессе движения рулона.

Вывод: условие задачи "Линия соприкосновения всегда имеет скорость нуль" подразумевает, что между пленкой и плоскостью есть сила трения, которая удерживает уже размотавшуюся пленку от дальнейшего сползания. Именно она и забирает себе излишек энергии.

[Андрей123]

Литтлвуд писал(а):

Линия соприкосновения всегда имеет скорость нуль, и кинетическая энергия в процессе движения не уничтожается;

Кинетическая энергия постепенно уничтожается, т.к. уменьшается масса движущейся части. Почему скорость линии касания нулевая? Ведь рулон не движется как твёрдое тело.

[Александр Т.]

Dan_Te писал(а):

Где-то видел подобную задачу. Вроде объясняли тем, что конец рулона шлепнет по наклонной поверхности, совершив какую-то работу.

По наклонной плоскости "шлепает" каждый участок раскатывающейся пленки, а не только конец рулона. Точнее, предположение о том, что рулон пленки при раскатывании не отскакивает от наклонной плоскости, эквивалентно предположению о том, что при раскатывании каждый участок пленки совершает абсолютно неупругое столкновение с наклонной плоскостью. А, как известно, при неупругом столкновении кинетическая энергия переходит во внутреннюю энергию сталкивающихся тел (т.е. идет на увеличение их температуры).

Hypokeimenon писал(а):

Литтлвуд писал(а):

Свободный конец нерастяжимой пленки, скатанной в ролик, горизонтально прикреплен к наклонной плоскости и разматывается под действием силы тяжести.
Линия соприкосновения всегда имеет скорость нуль, и кинетическая энергия в процессе движения не уничтожается; когда же пленка полностью размоталась, произошла потеря потенциальной энергии, кинетическая же энергия стала равной нулю. Куда девалась энергия?

И правда, куда?

В свете вышеизложенного, ответ на этот вопрос: "Перешла во внутреннюю энегию пленки и наклонной плоскости (пошла на увеличение их температуры)".

[Dan_Te]

Александр Т. писал(а):

Точнее, предположение о том, что рулон пленки при раскатывании не отскакивает от наклонной плоскости, эквивалентно предположению о том, что при раскатывании каждый участок пленки совершает абсолютно неупругое столкновение с наклонной плоскостью.

Мне кажется, это не так. Представим себе, что начало рулона закреплено. Там просто нечему будет шлепать, потому что скорость той части пленки, которая касается плоскости, всегда равна нулю.

[Александр Т.]

Dan_Te писал(а):

Александр Т. писал(а):

Точнее, предположение о том, что рулон пленки при раскатывании не отскакивает от наклонной плоскости, эквивалентно предположению о том, что при раскатывании каждый участок пленки совершает абсолютно неупругое столкновение с наклонной плоскостью.

Мне кажется, это не так. Представим себе, что начало рулона закреплено. Там просто нечему будет шлепать, потому что скорость той части пленки, которая касается плоскости, всегда равна нулю.

Начало рулона, на мой взгляд, следует считать закрепленным в любом случае. Хотя бы для простоты.

Если рулон начинает раскатываться с начальной скоростью, равной нулю, то, действительно, в начальный момент времени нормальная к наклонной плоскости составляющая скорости его центра масс равна нулю. Однако во все последующие моменты времени она не равна нулю, т.к. радиус рулона непрерывно уменьшается, а нормальная составляющая равна $v_n=-\dot{R}(t)$ ($R$ - радиус рулона, $t$ - время). А если центр масс нераскатанной части рулона (который представляет собой цилиндр) имеет ненулевую нормальную к наклонной плоскости составляющую, то и все точки рулона (в том числе и точки линии его касания с наклонной плоскостью) имеют эту составляющую (которую нужно прибавить к скорости $\vec{v}=\vec{V}+\vec\omega\times\vec{r}$, где $\vec{V}$ - параллельная к наклонной плоскости составляющая скорости центра масс рулона, $\vec\omega$ - его угловая скорость, $\vec{r}$ - радиус-вектор проведенный к точке рулона от его центра масс).

[Андрей123]

Александр Т. писал(а):

А если центр масс нераскатанной части рулона (который представляет собой цилиндр) имеет ненулевую нормальную к наклонной плоскости составляющую, то и все точки рулона (в том числе и точки линии его касания с наклонной плоскостью) имеют эту составляющую (которую нужно прибавить к скорости $\vec{v}=\vec{V}+\vec\omega\times\vec{r}$, где $\vec{V}$ - параллельная к наклонной плоскости составляющая скорости центра масс рулона, $\vec\omega$ - его угловая скорость, $\vec{r}$ - радиус-вектор проведенный к точке рулона от его центра масс).

По-моему рулон представляет собой не совсем цилиндр, а нечто вроде плотно скрученной спирали. Представление скорости в виде $\vec{v}=\vec{V}+\vec\omega\times\vec{r}$ справедливо для абсолютно твёрдого тела, рулон в данном случае таким не является, но я согласен с Вами, что потеря энергии может происходить из-за ненулевой скорости линии касания.

[Александр Т.]

Андрей123 писал(а):

По-моему рулон представляет собой не совсем цилиндр, а нечто вроде плотно скрученной спирали.

Согласен. Обозвав нераскатанную часть рулона цилиндром, я погорячился.

Андрей123 писал(а):

Представление скорости в виде $\vec{v}=\vec{V}+\vec\omega\times\vec{r}$ справедливо для абсолютно твёрдого тела, рулон в данном случае таким не является,

Но из того, что рулон, а точнее - его нераскатанная часть, не является твердым телом, вовсе не следует, что он не может двигаться как твердое тело. Жидкость, например, тоже твердым телом не является, но, находясь во вращающемся сосуде, может двигаться вместе с ним как твердое тело. Так что, в этом я с Вами не согласен и считаю, что в любой точке нераскатанной части рулона (включая его точки, находящиеся на линии касания) скорость (мгновенная) имеет вид $\vec{v}(t)=\vec{V}(t)+\vec\omega(t)\times\vec{r}-\dot{R}(t)\vec{n}$ ($\vec{n}$ - внешняя нормаль к наклонной плоскости, а остальные обозначения описаны в моем предыдущем сообщении).

Андрей123 писал(а):

но я согласен с Вами, что потеря энергии может происходить из-за ненулевой скорости линии касания.

Следует отметить, что Вы первый выразили сомнение в том, что скорость на линии касания нулевая.

Строго говоря, на линии касания скорость испытывает скачок: равна нулю слева от линии касания и не равна нулю и направлена по нормали внутрь наклонной плоскости справа от линии касания (если считать, что рулон раскатывается вправо).

[Dan_Te]

Да, действительно там есть нормальная компонента скорости. Но мне кажется, что ее влияние должно быть крайне малым по сравнению с эффектом "сползания".

Александр Т. писал(а):

Строго говоря, на линии касания скорость испытывает скачок: равна нулю слева от линии касания и не равна нулю и направлена по нормали внутрь наклонной плоскости справа от линии касания (если считать, что рулон раскатывается вправо).

Нет, ну если пленка в момент касания ударяется о плоскость, то тогда слева от линии касания скорость не равна нулю.

[Андрей123]

Александр Т. писал(а):

Андрей123 писал(а):

Представление скорости в виде $\vec{v}=\vec{V}+\vec\omega\times\vec{r}$ справедливо для абсолютно твёрдого тела, рулон в данном случае таким не является,

Но из того, что рулон, а точнее - его нераскатанная часть, не является твердым телом, вовсе не следует, что он не может двигаться как твердое тело. Жидкость, например, тоже твердым телом не является, но, находясь во вращающемся сосуде, может двигаться вместе с ним как твердое тело. Так что, в этом я с Вами не согласен и считаю, что в любой точке нераскатанной части рулона (включая его точки, находящиеся на линии касания) скорость (мгновенная) имеет вид $\vec{v}(t)=\vec{V}(t)+\vec\omega(t)\times\vec{r}-\dot{R}(t)\vec{n}$ ($\vec{n}$ - внешняя нормаль к наклонной плоскости, а остальные обозначения описаны в моем предыдущем сообщении).

Я не говорил, что Вы неправы. Просто для абсолютно твёрдого тела это представление справедливо, что касается нераскатанной части рулона, нужны обоснования. Вроде бы это так, но тем не менее...

[Александр Т.]

Андрей123 писал(а):

Александр Т. писал(а):

... считаю, что в любой точке нераскатанной части рулона (включая его точки, находящиеся на линии касания) скорость (мгновенная) имеет вид $\vec{v}(t)=\vec{V}(t)+\vec\omega(t)\times\vec{r}-\dot{R}(t)\vec{n}$ ($\vec{n}$ - внешняя нормаль к наклонной плоскости, а остальные обозначения описаны в моем предыдущем сообщении).

Я не говорил, что Вы неправы. Просто для абсолютно твёрдого тела это представление справедливо, что касается нераскатанной части рулона, нужны обоснования. Вроде бы это так, но тем не менее...

Строго говоря, это - некоторое приближение. При более точном подходе нужно учитывать, например, что под действием силы тяжести и силы реакции наклонной плоскости рулон деформируется и такое представление для скорости его точек неточно. И, надо сказать, что это не единственное приближение, которое я неявно использовал, давая свое объяснение. Но и при более точном подходе будет иметь место "шлепок" пленки по наклонной плоскости при ее раскатке. Просто такое (приближенное) представление для скоростей точек рулона позволяет увидеть, что нормальная к плоскости составляющая скорости точки рулона на линии касания не равна нулю.

Еще я должен сказать, что сам не сразу обратил внимание на то, что это выражение является приближенным и по другой причине. А именно, я неявно полагал, что $R(t)$ много больше толщины пленки (т.е. не только называл нераскатанную часть рулона цилиндром, но и считал ее цилиндром, выписывая формулу $\vec{v}(t)=\vec{V}(t)+\vec\omega(t)\times\vec{r}-\dot{R}(t)\vec{n}$). При учете толщины пленки вектор нормали к наклонной плоскости на линии касания направлен не строго к центру тяжести нераскатанной части рулона.

Dan_Te писал(а):

Да, действительно там есть нормальная компонента скорости. Но мне кажется, что ее влияние должно быть крайне малым по сравнению с эффектом "сползания".

Если свободный конец пленки закреплен, то (если я правильно понял, что Вы имеете в виду) "сползания" никакого нет, и вся энергия теряется только за счет "шлепка" пленки по наклонной плоскости. (При более точном подходе необходимо конечно учитывать, что энергия теряется также и за счет деформаций пленки, происходящих при ее "раскрутке").

Dan_Te писал(а):

Александр Т. писал(а):

Строго говоря, на линии касания скорость испытывает скачок: равна нулю слева от линии касания и не равна нулю и направлена по нормали внутрь наклонной плоскости справа от линии касания (если считать, что рулон раскатывается вправо).

Нет, ну если пленка в момент касания ударяется о плоскость, то тогда слева от линии касания скорость не равна нулю.

Наличие скачка скорости - это результат того, что нераскатанная часть рулона (справа от линии касания) и раскатанная пленка (слева от нее) считаются абсолютно твердыми. Абсолютно твердое тело - это приближение (математическая абстракция), которое удобно использовать при решении задач (и при объяснении явлений). На самом деле ни пленка, ни рулон, ни наклонная плоскость не являются абсолютно твердыми и деформируются при ударах, а вместо скачка скорости на линии касания существует область резкого изменения скорости в окрестности линии касания. Чем ближе материалы пленки и наклонной плоскости по свойствам к абсолютно твердому телу, тем меньше (поперечные) размеры этой окрестности.