Линейная алгебра

[Skies]

Помогите решить задачу:
Пусть V - Евклидово пространство всех многочленов над R степени $\ll$ 2 со скалярным произведением
(f,g)=

$$\int_{0}^{1} f(t)g(t) dt$$

. Найдите ортогональный базис пространства V.

AKM:

...со скалярным произведением

$$(f,g)=\int_{0}^{1} f(t)g(t) dt.$$

Найдите...

[AKM]

... и что такое "степень много меньше 2"? $-7$ сойдёт?
Или Вы имели в виду "степени $n\le 2$"?

[chessar]

Если подразумевается, что степени $n\leqslant2$, то надо подобрать такие действительные коэффициенты для трех функций базиса
$f_0=a_0,\;f_1=a_1x+b_1,\;f_2=a_2x^2+b_2x+c$, что $\forall\;i,j\in\mathbb{Z},\;0\leqslant i<j\leqslant2\colon (f_i,f_j)=0,\;a_0a_1a_2\neq0$.

[ewert]

Они обзываются первыми тремя многочленами Лежандра -- с точностью до сдвига и нормировки.

Ну или (что, скорее всего, и подразумевалось постановкой задачки) -- попросту примените стандартную процедуру ортогонализации Грама-Шмидта. Первый вектор тривиален -- это константа. Вторая (линейная) функция, ортогональная той константе -- не менее тривиальна, раз уж она в среднем обязана дать ноль. И остаётся подобрать лишь квадратичный многочлен, в среднем нулевой и при этом ортогональный второй функции. Работа сугубо техническая.