Продолжаю разбираться в спектрах, наткнулся теперь на вопрос такого рода.. Нашел пример следующего содержания:
В банаховом пространстве
![$C[0,1]$ $C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/1/ca1e69cd98bea147d53c53dda6988e1882.png)
оператор

задается равенством:

. Найти спектр оператора.
Операторное уравнение

, где
![$f\in C[0,1]$ $f\in C[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/4/6e40d862fa16aa1e11fb467d2786450982.png)
- заданная функция, эквивалентно уравнению
![$xu(x)-\lambda u(x) = f(x), x \in [0,1]$ $xu(x)-\lambda u(x) = f(x), x \in [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/2/e921ef7d88bc9f6167616b4fb5c6896d82.png)
, где искомой является непрерывная на отрезке
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
функция

. При
![$\lambda \in \mathbb{R}\diagdown[0,1]$ $\lambda \in \mathbb{R}\diagdown[0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/7/de77fe7020b8ce115d9e11ff945222d282.png)
решение этого уравнения существует и единственно для любой функции
![$f\in C[0,1]$ $f\in C[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/4/6e40d862fa16aa1e11fb467d2786450982.png)
и определено равенством

. Таким образом, при
![$\lambda \in \mathbb{R}\diagdown[0,1]$ $\lambda \in \mathbb{R}\diagdown[0,1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/7/de77fe7020b8ce115d9e11ff945222d282.png)
существует ограниченный резольвентный оператор, и

является регулярным значением оператора

.
Пусть
![$\lambda\in[0,1]$ $\lambda\in[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/226c7847199ae6f69385d32bce11c38a82.png)
. Если непрерывная на отрезке функция

является решением уравнения
![$(x-\lambda)u(x)=f(x), x\in[0,1]$ $(x-\lambda)u(x)=f(x), x\in[0,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/7/bc78d6e127d5df892782e2dc95c3f66782.png)
, то при

левая часть уравнения обращается в нуль. Следовательно, необходимым и досаточным условием существования решения в этом случае является

. Таким образом, при
![$\lambda\in[0,1]$ $\lambda\in[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/2/6/226c7847199ae6f69385d32bce11c38a82.png)
резольвентный оператор определен на множестве
![$Y_{\lambda}\subset[0,1]$ $Y_{\lambda}\subset[0,1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/d/70d870ca3cee048df36f39d34c09750482.png)
, состоящем из функций, равных нулю в точке

. Также резольвентный оператор неограничен на

. Итак, отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
является спектром оператора

, причем остаточным, поскольку
![$\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$ $\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/e/09e716a158a8bf78d98948a04fc1443882.png)
.
В принципе я разобрался в этом примере, но возникает два вопроса:
Первый и главный: Чем здесь особенный отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
. Почему решение

не работает для этого отрезка? Не понимаю.
Второй вопрос: почему
![$\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$ $\overline{Y_{\lambda}}\notin C[0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/e/09e716a158a8bf78d98948a04fc1443882.png)
.