Логарифмическое уравнение

[Clayton]

Что-то меня заело на этом уравнении:
$\log _{ 5 }{ ({ x }^{ 2 } } +3x+13)+\sqrt { \log _{ 25 }{ ({ x }^{ 2 }+3x+27) } } =\log _{ 5 }{ ({ x }^{ 2 } } +6x+1)+\sqrt { \log _{ 25 }{ ({ x }^{ 2 }+9x+23) } } $
То что привести к одному основанию $5$ (под корнями получится $\frac { 1 }{ 2 } $) это понятно.Еще можно расписать разность логарифмов(которые без корней).ОДЗ нам дает только${ x }^{ 2 }+6x+1$.Но во что делать с этими корнями?Вольфрам вообще сказал,что тут только один корень и функция похожа на монотонную.

[Shtorm]

И я тоже, так и не поял как решать это уравнение. Может есть какое-то универсальное преобразование, подстановка?

[Keter]

В любом случае решения нужно искать в интервале $x \in \Big( \dfrac{2}{3}; 4 \Big)$

[Clayton]

Судя по всему,в условии действительно ошибка,иначе оно вообще не решается.По идее должно быть ${ x }^{ 2 }+6x+11$
Выкладываю свое решение:
Предположим,что $\log _{ 5 }{ { (x }^{ 2 } } +3x+13)-\log _{ 5 }{ ({ x }^{ 2 } } +6x+11)\ge 0$
Тогда ${ x }^{ 2 }+3x+13\ge { x }^{ 2 }+6x+11$, откуда $x\le \frac { 2 }{ 3 } $
С другой стороны $\sqrt { \log _{ 25 }{ ({ x }^{ 2 }+9x+23) } } \ge \sqrt { \log _{ 25 }{ ({ x }^{ 2 }+3x+27) } } $,откуда $x\ge \frac { 2 }{ 3 } $,т.е. $x=\frac { 2 }{ 3 } $
Во втором случае аналогично.

[Shtorm]

Но откуда мы делаем предположение, что больше или равно?

[Clayton]

Ну оно же или $\ge 0$, или $\le 0$.Сначала рассматриваем случай,когда правая часть $\ge 0$,а во втором меньше(второй случай расписывать не стал,он аналогичный).Третьего вроде нет

[Shtorm]

Clayton в сообщении #592200 писал(а):

Ну оно же или $\ge 0$, или $\le 0$.Сначала рассматриваем случай,когда правая часть $\ge 0$,а во втором меньше(второй случай расписывать не стал,он аналогичный).Третьего вроде нет

Ясно. Осталось только урегулировать вопрос с опечаткой

[Clayton]

Скорее всего там таки должна быть опечатка,т.к. я переписывал с самодельного сборника задач(выпускался нашим университетом),или же я просто не внимательно переписал.

[Keter]

Clayton, опечатка 100%, я таким же способом решал и вышел на интервал, в котором должны быть решения, а если там 11, то интервал превращается в точку.

[Shtorm]

Keter в сообщении #592207 писал(а):

Clayton, опечатка 100%, я таким же способом решал и вышел на интервал, в котором должны быть решения, а если там 11, то интервал превращается в точку.

Так если решать, считая, что там якобы нет опечатки - то получается, что нет вообще методов решений таких уравнений?

[Keter]

Shtorm, ну нормальных нет, а так определить, в каком интервале находятся решения, $x \in (2/3; 4)$, а потом искать решение, для этого уравнения очевидно это одна точка $x>3$.

-- 04.07.2012, 23:32 --

Хотя в правой и левой частях возрастающие функции, а в левой вообще что-то вроде параболы, ну судя по всему нет такого метода.

[Shtorm]

Keter в сообщении #592214 писал(а):

Shtorm
Хотя в правой и левой частях возрастающие функции, а в левой вообще что-то вроде параболы, ну судя по всему нет такого метода.

Вот - есть куда двигаться в Математике! Я имею ввиду, можно попытаться придумать общие методы решения таких уравнений или доказать, что общих таких методов не существует.

[Keter]

Shtorm, полностью согласен) Но я не думаю, что это очень сложно, на днях попытаюсь что-нибудь сделать.