Численное нахождение обратной матрицы

[klubni4ka]

Здравствуйте!
В момент написания бакалаврской работы встал вопрос: как можно численно найти обратную матрицу? Если кто знает - подскажите, пожалуйста!
Желательно, чтобы метод был понятным :)
Спасибо!!

[ewert]

Метод Гаусса, с полным выбором главного элемента (т.е. с перестановкой и строк, и столбцов; хотя и без этого в типичных ситуациях пройдёт). У вас он в курсе алгебры, безусловно, был. Гуглите.

Есть, разумеется, и другие методы, но этот -- логически наиболее прост.

[мат-ламер]

klubni4ka в сообщении #525646 писал(а):

В момент написания бакалаврской работы встал вопрос: как можно численно найти обратную матрицу?

Просто любопытно - для чего? Дело в том, что задача численного нахождения обратной матрицы встречается очень редко.

[Евгений Машеров]

В статистике бывает. Скажем, корреляции между коэффициентами линейной регрессии выражаются через матрицу, обратную к корреляционной.

[Aleksandr Pavlovich]

ewert в сообщении #525781 писал(а):

Метод Гаусса, с полным выбором главного элемента (т.е. с перестановкой и строк, и столбцов; хотя и без этого в типичных ситуациях пройдёт).

Для нахождения (столбцов) обратной матрицы A порядка N*N можно решить N систем уравнений с правыми частями - столбцами вида
(0,...,0,1,0,...,0)
где на i-том месте 1, на остальных - 0.
Решение одной системы - i-тый столбец обратной матрицы.

Решать можно методом Гаусса: один раз LU-разложить матрицу и решить для N правых частей.

[ewert]

Aleksandr Pavlovich в сообщении #567512 писал(а):

Решать можно методом Гаусса: один раз LU-разложить матрицу и решить для N правых частей.

Нахождение LU-разложения практически равносильно (с точки зрения трудозатрат и вообще затрат) нахождению просто обратной матрицы. Разница лишь в нюансах.

[fit]

а вот, кстати. с точки зрения вычислительных затрат какой алгоритм эффективнее: обычный Гаусса или Жордана-Гаусса?

[ewert]

fit в сообщении #582829 писал(а):

с точки зрения вычислительных затрат какой алгоритм эффективнее: обычный Гаусса или Жордана-Гаусса?

Я не помню, какой из двух вариантов метода какими фамилиями принято помечать (а гуглить лень). В общем, так: метод Гаусса с обратным ходом вычислительно безусловно эффективнее, чем метод без обратного хода (хотя программно и чуть сложнее, но какая разница -- программка так и так коротенькая). Но не принципиально эффективнее -- всего раза в полтора, кажется.

[AndrewN]

ewert в сообщении #567664 писал(а):

Нахождение LU-разложения практически равносильно (с точки зрения трудозатрат и вообще затрат) нахождению просто обратной матрицы. Разница лишь в нюансах.

Не спешите. Прямой ход выполняется за $n^3/3+O(n^2)$, обратный для одной правой части за $n^2+O(n)$, но число правых частей для полного вычисления $A^{-1}$ равно $n$. Получается тот же порядок затрат на все обратные ходы.

[ewert]

AndrewN в сообщении #592095 писал(а):

Получается тот же порядок затрат на все обратные ходы.

Да, получится. Но речь-то шла не о вычислении обратной матрицы, а о решении конкретной системы. Тогда метод с обратным ходом безусловно выгоднее.

[TOTAL]

Можно так

$A_1=A$

$do \;\; k=1,n-1$
$\;\; p_k=\frac{1}{k} \cdot tr(A_k)$
$\;\; B_k=A_k-p_k \cdot E$
$\;\; A_{k+1}=B_k \cdot A$
$enddo$

$p_n=\frac{1}{n} \cdot tr(A_n)$
$A^{-1}=\frac{1}{p_n} \cdot B_{n-1}$