Подпрастранства над $\mathbb{Q}$

[xmaister]

Пусть $L_1$- множество неизмеримых линейных подпрастранств $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$, $L_2$- множество измеримых линейных подпрастранств $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$. Докажите, что $|L_1|=|L_2|=2^{\mathfrak{c}}$.

[xmaister]

(Оффтоп)

Это слишком избитый боян или просто никому не интересно?

[xmaister]

Лемма: Пусть $L\subset\mathbb{R}$- подпространство над $\mathbb{Q}$, такое что $\mathrm{codim}\ L\le\aleph_0$, тогда, если $L\ne\mathbb{R}$, то $L$- не измеримо.
Доказательство: Ясно, что $\mathrm{card}(\mathbb{R}/L)\le\aleph_0$. Положив, что $L$- измеримо, тогда для любого $L_n\in (\mathbb{R}/L)$ получим, что $\mu(L_n)=0$, значит $\mu (\mathbb{R})=0$. Противоречие.

Лемма: Существует неизмеримое подпространство $L$ над $\mathbb{Q}$, такое что $\dim L=\mathrm{codim}\ L=\mathfrak{c}$
Доказательство: Положим, что $L'\subset\mathbb{R}$- подпространство, такое что $\mathrm{codim}L'=1$, значит $\dim L'=\mathfrak{c}$. Пусть $\{x_\alpha\}_{\alpha\in\mathbb{R}}$- базис Гамеля в $L'$. Положим, что $L_n$- подпространство, порожденное $\{x_\alpha\}_{|\alpha |<n}$, $n\in\mathbb{N}$. При этом $\dim L_n=\mathrm{codim} L_n=\mathfrak{c}$ и $L'=\bigcup\limits_{\alpha\in\mathbb{N}}L_n$, а значит существует $n\in\mathbb{N}$, такое что $L_n$ не измеримо.

Пусть $L\subset\mathbb{R}$ неизмеримое подпространство $\dim L=\mathrm{codim}\ L=\mathfrak{c}$, тогда каждое собственное подпространство $L'$, такое что $L\subset L'$- неизмеримо. Тогда для каждого подмножества базиса Гамеля в $\mathbb{R}/L$ можно поставить в соответствие единственное подпространство, содержащее $L$, значит $|L_1|=2^\mathfrak{c}$

[xmaister]

Можно доказать существование измеримого подпространства $L\subset\mathbb{R}$, такого что $\dim L=\mathfrak{c}$. Из этого уже следует, что $|L_2|=2^\mathfrak{c}$