Wieferich primes и гармонические числа

[maxal]

Пусть $p$ - Wieferich prime, т.е. простое число, для которого $p^2$ делит $2^{p-1}-1.$ Верно ли что:
1) $p$ делит числитель гармонического числа $H_{(p-1)/2}$
2) $p$ делит числитель гармонического числа $H_{\lfloor (p-1)/4\rfloor}$

Для известных Wieferich primes 1093 и 3511 это так.

Добавлено спустя 2 часа 8 минут 12 секунд:

Кстати, мне неизвестны другие примеры простых чисел (кроме уже указанных Wieferich primes 1093 и 3511), для которых бы выполнялись свойства 1) и 2). Есть ли они?

[Руст]

maxal писал(а):

Пусть $p$ - Wieferich prime, т.е. простое число, для которого $p^2$ делит $2^{p-1}-1.$ Верно ли что:
1) $p$ делит числитель гармонического числа $H_{(p-1)/2}$
2) $p$ делит числитель гармонического числа $H_{\lfloor (p-1)/4\rfloor}$

Для известных Wieferich primes 1093 и 3511 это так.

Добавлено спустя 2 часа 8 минут 12 секунд:

Кстати, мне неизвестны другие примеры простых чисел (кроме уже указанных Wieferich primes 1093 и 3511), для которых бы выполнялись свойства 1) и 2). Есть ли они?

Это следует от частного случая ($m=p(p-1)$) формул суммирования по модулю $p^2$ степеней чисел в интервалах $(kp/n,(kp+p)/n)$, которых я когда то тебе посылал. В частности, получается:

$$H_{[p/2]}=\frac{2(2^{p(p-1)}-1)}{p(1-p)2^{p(p-1)}}B_{p(p-1)}\pmod {p^2}$$

$$H_{[p/4]}=3(2^{p-1}-1)B_{p-1}\pmod p.$$

Во второй формуле я ограничился с точностью $p$, из-за того, что для определения с точностью $p^2$ необходимо ещё вычислить с точностью до $p$ сумму обратных квадратов. А из первой формулы можешь сам убрать излишнюю точность. В частности, отсюда следует, что условие Вивериховости эквивалентно одному из твоих условий (тогда второе так же выполняется).

[maxal]

Ага, наверное, аналогичным образом можно доказать, что для простого числа $p$ и натурального числа $m$ условия:
i) $p^2$ делит $m^{p-1}-1$
и
ii) $p$ делит числитель $H_{\lfloor (p-1)/m\rfloor}$
эвивалентны. Так ли это?

[Руст]

maxal писал(а):

Ага, наверное, аналогичным образом можно доказать, что для простого числа $p$ и натурального числа $m$ условия:
i) $p^2$ делит $m^{p-1}-1$
и
ii) $p$ делит числитель $H_{\lfloor (p-1)/m\rfloor}$
эвивалентны. Так ли это?

Нет. Например для нечётного $m$ первое условие эквивалентно следующему:
$p$ делит

$$\sum_{k=0}^{(m-1)/2}(\frac{m-1}{2}-k)x_{m,k}, \ \ x_{m_k}=\sum_{kp/m<y<(k+1)p/m}\frac{1}{y}=H_{[(k+1)p/m]}-H_{[kp/m]}.$$

В частности это верно для $m=2,3,4$. Но уже для остальных $m$ не верно, даже для $m=6$ когда можно выразить одним $H([p/6])$. В последним случае делимость $H([p/6])$ на $p$ выражается делимостью некоторой комбинацией $6^{p-1}+3\cdot 2^{p-1}+2\cdot 3^{p-1}-6$ на $p^2$.
Т.е делимость на $p$ числа $H_{[p/6]}$ эквивалентно делимости на $p$ числа $4a(2)+3a(3)$, где $a(k)=\frac{k^{p-1}-1}{p}\pmod p$. Отсюда видно, что в этом случае $a(6)=a(2)+a(3)$ делится на $p$ только если оба $a(2)$ и $a(3)$ делятся на $p$, что вряд ли когда нибудь реализуется.

[maxal]

А можно ли аналогичным образом показать, что простые Вольстенхольма и только они удовлетворяют делимостям:
1) $p$ делит числитель обобщенного гармонического числа $H^{(3)}_{\lfloor p/2\rfloor}$
2) $p$ делит числитель обобщенного гармонического числа $H^{(3)}_{\lfloor p/3\rfloor}$
3) $p$ делит числитель обобщенного гармонического числа $H^{(3)}_{\lfloor 2p/3\rfloor}$
И можно ли ограничиться какой-то одной делимостью из 1), 2), 3)?

[Руст]

На все вопросы ответ да.

[maxal]

Ага, спасибо.

А вот можно ли отсюда получить какие-то "интересные" обобщения простых Wieferich и/или Wolstenholme?

По поводу Вольтенхольма интересен так же вопрос об эфективном распознавании их при поиске на компьютере. Из экзотических простых они довольно маленькую текущую нижнюю оценку ($10^9$). По-видимому, это напрямую связано с отсутствием эфективной процедуры распознавания.

[Руст]

maxal писал(а):

Ага, спасибо.

А вот можно ли отсюда получить какие-то "интересные" обобщения простых Wieferich и/или Wolstenholme?

По поводу Вольтенхольма интересен так же вопрос об эффективном распознавании их при поиске на компьютере. Из экзотических простых они довольно маленькую текущую нижнюю оценку ($10^9$). По-видимому, это напрямую связано с отсутствием эффективной процедуры разпознавания.

Обобщения то можно сделать. Например заменив 2 на другое число для чисел Вивериха. Однако я не знаю ни одного примера, удовлетворяющего этому условию.
Проверка чисел на Вольтенхольмс гораздо сложнее, количество операций порядка $O(p)$ (можно уменьшить до $O(p/\ln p)$) в отличии от Вивериховости (количество операции порядка $\ln p$ ). Даже по моему, несколько укороченному алгоритму, для расчёта до миллиарда (до которого уже просчитали) потребовалось бы больше года расчёта на одном компьютере.
Я когда то считал до 10 миллионов за несколько часов.

[maxal]

Руст писал(а):

maxal писал(а):

А вот можно ли отсюда получить какие-то "интересные" обобщения простых Wieferich и/или Wolstenholme?

Обобщения то можно сделать. Например заменив 2 на другое число для чисел Вивериха. Однако я не знаю ни одного примера, удовлетворяющего этому условию.

О каком условии речь?
Если 2-ку заменить на 3-ку, то получаются такие числа: A014127

[Руст]

И здесь два примера. Сам этим особо не интересовался, но насколько помню для 2 в числах Вивериха считали вплоть до 10 степени 15 и других не нашли. Всвязи с доказательством первого случая теоремы Ферма для простых не являющихся числами Вивериха, потом обобщённого заменой 2 вплоть до 89, проверяли в основном только для 2 . Найдено только два исключения 1093 и 3511.

[maxal]

Руст писал(а):

Всвязи с доказательством первого случая теоремы Ферма для простых не являющихся числами Вивериха, потом обобщённого заменой 2 вплоть до 89, проверяли в основном только для 2 . Найдено только два исключения 1093 и 3511.

Для 3-ки тоже проверяли. Мириманов доказал для 3-ки аналогичную теорему в 1910 году:
http://primes.utm.edu/glossary/page.php ... erichPrime

[Руст]

Вообще то я могу создать полиномиальный (естественно относительно $\ln (p)$) алгоритм (есть соображения как это сделать) для проверки того является ли простое число $p$ числом Вольстенхолма. Сдерживает следующие соображения. Вероятность того, что простое $p$ является простым Вольстенхолма $1/ep$ меньше, чем окажется числом Вивериха ($1/p$). Поэтому, досчитав даже до $10^{15}$ (потратив на это годы расчёта на компьютере) скорее не удастся найти новое число Вольстенхолма.

[maxal]

Руст писал(а):

Вообще то я могу создать полиномиальный (естественно относительно ln(p)) алгоритм (есть соображения как это сделать) для проверки того является ли простое число р числом Вольстенхолма.

Было бы интересно ознакомиться с этими соображениями. А поднять нижнюю оценку все равно имеет смысл, даже если шансы на нахождение новые простых Вольстенхолма близки к 0.