Между двух простых чисел...

[Anatolii]

Внимание!!! Может быть кому-то захочется при помощи программируемого калькулятора или

специальной программы - проверить гипотезу. Если между двух простых чисел P2>P1

с разностью в 16 едениц нет ни одного простого числа, то оно найдётся в пределах

от Р1 до (Р1-16) включительно или от Р2 до (Р2+16) включительно. Я проверил это вручную для Р чисел от 1 до

40000 примерно и точно от 95629 до 108503. Исключений, как будто нет! Сообщите!

Кроме того интересно было бы знать делители чисел $(10^{32}+1)$ и

$(10^{64+1})$ ;

[Руст]

Ясно, что это неверно. Однако контрпример может оказаться относительно большим. Думаю, что найдётся контрпример до миллиарда.

[Anatolii]

Отсюда следует, что теорема Эйлера-Гольдбаха вызывает сомнения, так, как может быть
контпример до примерно миллиарда?

[Someone]

$10^{32}+1=19841\cdot 976193\cdot 6187457\cdot 834427406578561$
$10^{64}+1=1265011073\cdot 15343168188889137818369\cdot 515217525265213267447869906815873$

http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM - замечательная штука, за 7 секунд даёт

$10^{128}+1=257\cdot 15361\cdot 453377\cdot 558711876337536212257947750090161313464308422\\ 53464047463157158784732544216230781165223702155223678309562822667655169\text{,}$

хотя в двух первых случаях я пользовался программой Mathematica 5.1.

Контрпример к Вашей гипотезе дают последовательные простые числа $11177$, $11197$, $11213$, $11239$, найденные программой Mathematica 5.1.

Исправил опечатку, которую указал Anatolii в следующем сообщении.

[Anatolii]

Вместо 6187457 второй раз будет 834427406578561, а как пользоваться

программой http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM для меня загадка. Интересно, а есть

чётные числа, которые возведённые в 32 степень давали бы простое число?

[Руст]

Anatolii писал(а):

Вместо 6187457 второй раз будет 834427406578561, а как пользоваться

программой http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM для меня загадка. Интересно, а есть

чётные числа, которые возведённые в 32 степень давали бы простое число?

Наверное имеется в виду простота $x^{32}+1$ (x чётное). Насколько помнится, где то встречал простое число такого вида всвязи с обобщёнными числами Ферма вида

$$x^{2^n}+1$$

.

[AndAll]

Anatolii писал(а):

Отсюда следует, что теорема Эйлера-Гольдбаха вызывает сомнения, так, как может быть контпример до примерно миллиарда?

Вот несколько четверок последовательных простых чисел, противоречащих Вашей гипотезе:

815693 798823 791447 786589 775963 772459 772279 763823 751061 748987
815713 798871 791473 786613 775987 772477 772297 763843 751087 749011
815729 798887 791489 786629 776003 772493 772313 763859 751103 749027
815809 798911 791519 786659 776029 772517 772333 763879 751123 749051

747203 743711 738223 730217 719353 712021 711437 708803 707501 698903
747223 743731 738247 730237 719377 712051 711463 708823 707527 698923
747239 743747 738263 730253 719393 712067 711479 708839 707543 698939
747259 743777 738301 730277 719413 712093 711497 708857 707561 698977

694721 684017 675751 664891 656171 655987 650953 648731 645763 645257
694747 684037 675781 664933 656221 656023 650971 648763 645787 645313
694763 684053 675797 664949 656237 656039 650987 648779 645803 645329
694781 684091 675817 664967 656263 656063 651017 648803 645833 645347

641327 631273 630229 628841 627391 624649 611561 603467 588257 586367
641371 631291 630247 628861 627433 624667 611587 603487 588277 586387
641387 631307 630263 628877 627449 624683 611603 603503 588293 586403
641411 631339 630281 628909 627479 624707 611621 603521 588311 586429

582037 580487 578213 573007 552283 551387 549589 545791 545329 544631
582067 580513 578251 573031 552301 551407 549607 545827 545371 544651
582083 580529 578267 573047 552317 551423 549623 545843 545387 544667
582119 580549 578297 573101 552341 551443 549641 545863 545429 544699

543061 541927 531457 529579 528223 508661 506629 504527 501343 499403
543097 541951 531481 529603 528247 508693 506647 504547 501367 499423
543113 541967 531497 529619 528263 508709 506663 504563 501383 499439
543131 541987 531521 529637 528289 508727 506683 504593 501401 499459

495491 489263 485959 477259 476143 475933 466579 464621 442879 421807
495511 489283 485977 477277 476167 475957 466603 464647 442903 421831
495527 489299 485993 477293 476183 475973 466619 464663 442919 421847
495557 489329 486023 477313 476219 475991 466637 464687 442961 421891



416659 414467 413443 402383 391519 390289 382003 374557 372881 369851
416677 414487 413461 402403 391537 390307 382021 374587 372901 369877
416693 414503 413477 402419 391553 390323 382037 374603 372917 369893
416719 414521 413521 402443 391579 390343 382061 374639 372941 369913

356999 356621 355969 351667 348287 345979 341879 339959 339907 339341
357031 356647 356023 351691 348307 345997 341911 339991 339943 339373
357047 356663 356039 351707 348323 346013 341927 340007 339959 339389
357073 356693 356077 351727 348353 346039 341947 340027 339991 339413

338867 334561 317857 310591 302629 300043 293899 292249 287977 287701
338893 334603 317887 310627 302647 300073 293941 292267 288007 287731
338909 334619 317903 310643 302663 300089 293957 292283 288023 287747
338927 334637 317921 310663 302681 300109 293983 292301 288049 287783

283411 277793 276257 273433 271367 270463 258847 255259 235243 231643
283447 277813 276277 273457 271393 270493 258871 255313 235273 231661
283463 277829 276293 273473 271409 270509 258887 255329 235289 231677
283487 277847 276319 273503 271429 270527 258917 255349 235307 231701

226991 226241 224771 200237 199603 188533 183119 181123 172223 167953
227011 226267 224797 200257 199621 188563 183151 181141 172243 167971
227027 226283 224813 200273 199637 188579 183167 181157 172259 167987
227053 226307 224831 200293 199657 188603 183191 181183 172279 168013

162293 148727 142619 142433 132763 122327 90547 76697 68927 64717
162343 148747 142657 142453 132817 122347 90583 76717 68947 64747
162359 148763 142673 142469 132833 122363 90599 76733 68963 64763
162389 148781 142697 142501 132851 122387 90617 76753 68993 64781

50683 30559 27109 11177
50707 30577 27127 11197
50723 30593 27143 11213
50741 30631 27179 11239

Со вторым интервалом Вы угадали. Надеюсь, Вы не будете требовать представить все такие четверки.
Причем здесь «теорема Эйлера-Гольдбаха»?

[Anatolii]

Интересно посмотреть на простые числа вида Fermat's, то есть любые другие чётные числа, которые возведённые в 32 степень плюс еденица, давали бы простое число!

[Someone]

Anatolii писал(а):

Вместо 6187457 второй раз будет 834427406578561,

Спасибо, исправил.

Anatolii писал(а):

а как пользоваться программой http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM для меня загадка.

Java на компьютере установлена? В браузере должны быть разрешены Java-апплеты. Загружаете страницу, в окошке набираете своё число (например, ((2^10+1)^10+1)^10+1), нажимаете Enter и получаете результат

11 813716 351062 185071 631125 294788 470347 493072 161397 022634 237284 
722927 926307 732170 274442 104658 448399 972813 093134 055444 537953 986480 
984098 532151 528097 314004 453403 754544 545318 935518 283958 999182 738537 
103858 310029 610719 546066 013612 612874 900270 001300 947721 747441 652282 
714000 203145 155572 573278 153896 331787 109377 = 461 x 2 225221 x 10 612714 
438541 x 36 320087 552713 x 20274 832325 169460 085407 842574 979429 038649 x 
1473 607513 964553 883973 659981 606427 440269 612441 234652 879044 186178 
176487 763774 659637 290031 051067 244246 912242 599370 801929 941293 054481 
740207 507455 539117 608385 053872 561730 835475 921552 296033 354605 046812 
527050 305586 545516 966284 780101 

Number of divisors:  64 

Sum of divisors:  11 839347 954345 214971 152693 825452 762363 528105 432979 
892926 594945 293328 835968 904577 280303 045198 366935 417532 641883 581274 
450862 059980 411389 073750 529461 836264 813336 542019 006127 088240 660303 
168290 392478 401912 490813 338788 749491 137824 630891 444619 649461 635724 
562888 710610 064521 232750 475828 494753 088714 838614 913600 

Euler's Totient:  11 788084 770811 734589 487415 378617 501646 900101 409991 
960015 275091 981271 322131 345332 555654 478171 487093 090728 060905 672145 
961009 713638 417497 261998 659044 908647 101193 531720 515148 350730 983319 
776933 468328 920123 222128 503125 151313 813506 249540 037415 504237 473495 
173346 127201 400689 674526 247022 867410 030542 089164 800000 

Moebius: 1

Sum of squares: a^2 + b^2
a = 2 840741 576476 798091 994958 929952 424015 899351 452070 362300 526739 
913721 258265 470540 313031 767073 668096 615312 240568 502915 262072 997577 
989991 179994 109741 930296 
b = 1 934916 961199 705068 322257 972725 526719 889068 506745 605292 223544 
700477 873434 323610 275412 266617 095933 092095 358544 200274 767278 447578 
150043 666286 100201 779681

Factorization complete in 0d 0h 2m 17s
ECM: 1061080 modular multiplications
Prime checking: 5591881 modular multiplications

Anatolii писал(а):

Интересно, а есть чётные числа, которые возведённые в 32 степень давали бы простое число?

Поищите в http://primes.utm.edu/primes/lists/all.zip (называются Generalized Fermat). Список непрерывно обновляется.

[Руст]

Да. Тут много обобщённых чисел Ферма. Так как

$$x^{2^n}+1=y^{32}+1, \ y=x^{2^{n-5}}$$

, все числа большей степени так же годятся. Вот одно такое число, которое нельзя представить в виде большей степени: $16548170999431814229456139402996^{32}+1$. На самом деле я встречал и маленькие (относительно этих) обобщённо простые числа Ферма со степенью 32.

[Someone]

Наименьшее простое вида $n^{32}+1$ - при $n=30$.

[Anatolii]

Пока не знаю, как и, что, но кажется мне,с разностью этих простых чисел должно быть

что-то...и за их пределами... Могут ли быть две рядом находящиеся разности, внутри

которых нет простых чисел.Возможно предел нахождения простых чисел за пределами их

разности подчиняется какому-то другому закону? За помощь всем спасибо!

[Anatolii]

Обращение к AndAll !!!
Вы полагаете, что вместо (16) интервал (32),а именно: (Р1-32)и (Р2+32)действительно подходят, при p2-p1=16?

[AndAll]

Anatolii писал(а):

Обращение к AndAll !!!
Вы полагаете, что вместо (16) интервал (32),а именно: (Р1-32)и (Р2+32)действительно подходят, при p2-p1=16?

Нет, я полагаю, что Ваша гипотеза неверна при любом выборе интервалов между простыми числами.
Второй интервал, который Вы угадали это "от 95629 до 108503", который действительно не содержит исключений.