Метод максимального правдоподобия(мат. статистика)

[Kirillko93]

ну производную к нулю приравнивать нужно, чтоб максимум функции найти , по идее если $n$ четно, то...вот здесь как раз таки и ступор

-- 02.07.2012, 21:20 --

ну $\theta$ то выборочному среднему должно быть равно по идее

[_hum_]

Сигнум - это функция знака числа (дает 1 для положительных чисел и -1 для отрицательных). Значит, чтобы сумма сигнумов (фактически сумма минус единиц и единиц) была равна нулю, нужно что?

Kirillko93 в сообщении #591417 писал(а):

ну \theta то выборочному среднему должно быть равно по идее

Давайте не гадать, а решать. Ок?

[Kirillko93]

_hum_ в сообщении #591421 писал(а):

Сигнум - это функция знака числа (дает 1 для положительных чисел и -1 для отрицательных). Значит, чтобы сумма сигнумов (фактически сумма минус единиц и единиц) была равна нулю, нужно что?

нужно, чтоб количество отрицательных и положительных элементов было равно. значит $\hat{\theta}=n \cdot \bar{x}$

[Евгений Машеров]

Подсказка. В условии упомянуто, что число элементов нечётно. От какой сложности это Вас избавляет?

[_hum_]

Kirillko93 в сообщении #591423 писал(а):

начит $\hat{\theta}=n \cdot \bar{x}$

С чего вы взяли?
Пусть, например, $x_1 = 3, x_2 = 1, x_3 = 6, x_4 = 0$. При каком $\theta$ величина $\sum^4_{i=1}\mathrm{sign}(\theta - x_i)$ будет обнуляться?

2Евгений Машеров, нечетность вроде как ухудшает ситуацию для объяснения (экстремум оказывается в точке недифференцируемости функции).

[Kirillko93]

_hum_
при $\theta =4$?

-- 02.07.2012, 21:44 --

точнее 3

[_hum_]

Как нетрудно заметить, она будет обнуляться при всех $\theta$, при которых справа и слева от этого значения лежит одинаковое количество точек выборки. То есть, при $\theta \in (1,3)$. Согласны? Ну вот, а в общем случае как найти для четного объема выборки вашу точку, опираясь на понятие порядковых статистик $x_{(1)}, x_{(2)}, \dots$ (надесюь, вы в курсе, что это такое, если нет - познакомьтесь) ?

[Kirillko93]

_hum_
не понимаю, почему 3 и 6.

-- 02.07.2012, 21:55 --

а это у вас участок от 1 до 3 или точные значения?

[_hum_]

Kirillko93 в сообщении #591444 писал(а):

_hum_
не понимаю, почему 3 и 6.

Я поправил, гляньте снова!

Участок, конечно. То есть, значения производной равны нулю не в одной точки, а в многих.

[Kirillko93]

все. понял, что это интервал.
значит для $n$ элементов выборки $\theta$ будет лежать в участке $(x_{n/2},x_{n/2}+1)$

-- 02.07.2012, 22:01 --

блин, это будет только тогда, когда будет вариационный ряд составлен

[_hum_]

Kirillko93 в сообщении #591450 писал(а):

значит для $n$ элементов выборки $\theta$ будет лежать в участке $(x_{n/2},x_{n/2}+1)$

токо индексы поаккуратнее пишите - $x_{(n/2 + 1)}$. И это, не забываем, для четного $n$.

Kirillko93 в сообщении #591450 писал(а):

блин, это будет только тогда, когда будет вариационный ряд составлен

А в чем проблема? Вариационный ряд всегда существует и составляется извстным способом. Значения $x_{(k)}$ считаются такими же легко вычисляемыми, как и $\Bar{x}$.

Итак, осталось рассмотреть, что же будет в случае, когда (как в вашей задаче) $n$ нечетно. Ваши соображения?

[Kirillko93]

я думаю, что в таком случае оценка должна быть равна среднему элменту данной выборки, т.е. в четном случае мы брали интервал, а здесь уже будет точное значение

[_hum_]

Kirillko93 в сообщении #591460 писал(а):

я думаю, что в таком случае оценка должна быть равна среднему элменту данной выборки, т.е. в четном случае мы брали интервал, а здесь уже будет точное значение

Да, так и будет. Это так называемая выборочная медиана.
Обоснование немного более громздкое, поскольку в этом случае производная $Q'(\theta)$ нигде не будет обращаться в нуль (точек нечетное число). И значит, как помним из анализа, экстремальные точки функции $Q(\theta)$ следует искать либо на концах отрезка, на котором определена функция, либо в точках, в которых производная не существует. Не существует производная для точек $\theta = x_i, i = 1,\dots, n$. Остается, порассуждать, для какой из них значение производной до нее одного знака (функция возрастает), а после нее - другого (функция убывает). Именно она и будет экстремальной точкой. Ну и легко сообразить, что это именно медиана.
Есть и другие доказательства - почитайте тему "выборочная медиана".

[Kirillko93]

а как все таки получить ответ? сейчас прочитал, и что-то похоже, что ответ будет

$$\hat{\theta}= (x_{n/2}+x_{n/2+1})/2$$

[_hum_]

Это для четного $n$ (поскольку решений много, берут самое "симметричное"). У вас же нечетное. Поэтому нужно брать одну единственную медиану $x_{(\frac{n+1}{2})}$.

И, пожалуйста, не путайте при записи $k$-ое значения выборки $x_k$ с $k$-ым членом вариационного ряда $x_{(k)}$.