Док-ть, что нормали пересекают ось вращения (из Демидовича)

[SleepWalker]

Задача №3555 из Демидовича:

Цитата:

Доказать, что нормали к поверхности вращения
$z=f(\sqrt{x^2+y^2})$, ($f'\neq{0}$)
пересекают ось вращения.

Под нормалью подразумеваются прямые, проходящие вдоль нормального вектора.

Подскажите в каком направлении рассуждать? Думал и СЛАУ составить, и расмотреть пучок плоскостей, и составить ДУЧП, и док-ть что векторы вдоль оси вращения с нормальными векторами лежат в одной плоскости... Но в каждом из этих случаев сталкивался с проблемами...
Например, каноническое ур-е такой прямой имеет вид:
$\frac{X-x}{f'_x}=\frac{Y-y}{f'_y}=\frac{Z-z}{f'_z}$
В случае явного задания поверхности как графика ф-ии $z=f(x,y)$:
$\frac{X-x}{z'_x}=\frac{Y-y}{z'_y}=\frac{Z-z}{-1}$
Как я понимаю:
$X,Y,Z$ - любые точки прямой.
$x,y,z$ - точки на прямой, принадлежащие также и поверхности, т.е. точки в которых мы строим нормали.
Но у нас нет фиксированных точек, ведь надо док-ть, что нормали через любую точку поверхности пересекут ось вращения. Как тогда записать ур-е для любой нормальной прямой к поверхности?

[ewert]

Прямая, перпендикулярная к поверхности -- перпендикулярна и любой линии, лежащей на этой поверхности. Т.е. принадлежит плоскости, перпендикулярной линии в этой точке. А через каждую точку поверхности проходит, в частности, горизонтальная окружность с центром на вертикальной оси.

[SleepWalker]

У меня больше проблемы были даже не с рассуждениями, а с тем как мои рассуждения оформить аналитически...

Задачу решил. Я рассмотрел расстояние м/у прямыми осью вращения и нормальной к поверхности.
Удалось доказать, что это расстояние равно нулю для любых прямых, которые нормальны к поверхности. Ноль получается как раз благодаря такому виду ф-ии $z=f(\sqrt{x^2+y^2})$.
Однако, другие способы решения этой задачи по-прежнему интересны.

[svv]

Запишем уравнение поверхности в параметрической форме, выбрав в качестве параметров цилиндрические координаты $\rho, \varphi$:
$\mathbf r(\rho, \varphi)=(\rho\cos\varphi, \rho\sin\varphi, f(\rho))$
Векторы $\frac{\partial \mathbf r}{d\rho}$, $\frac{\partial \mathbf r}{d\varphi}$ касательны к поверхности, поэтому $\mathbf n=\frac{\partial \mathbf r}{d\rho}\times\frac{\partial \mathbf r}{d\varphi}$ — нормаль.
Ось вращения $\mathbf e_z=(0,0,1)$.

Заметим, что $\mathbf e_z\times\mathbf r=\frac{\partial \mathbf r}{d\varphi}$, так как обе части равны $(-\rho\sin\varphi, \rho\cos\varphi, 0)$.
Поэтому $\mathbf n\cdot(\mathbf e_z\times\mathbf r)=(\frac{\partial \mathbf r}{d\rho}\times\frac{\partial \mathbf r}{d\varphi})\cdot \frac{\partial \mathbf r}{d\varphi}=0$.

Значит, векторы $\mathbf n, \mathbf e_z, \mathbf r$ компланарны. В то же время, $\mathbf n$ и $\mathbf e_z$ неколлинеарны, так как $f'\neq 0$. Поэтому можно подобрать такой коэффициент $\lambda$, что вектор $\mathbf r+\lambda\mathbf n$ будет пропорционален $\mathbf e_z$.