предел синуса факториала

[worm2]

Где-то я здесь наврал. Нужно смотреть разложение числа $\alpha/(2\pi)$. И не совсем точный этот критерий. Если, например, $\{a_n/n\}$ имеет 3 частичных предела: 0, 0.5 и 1, то исходный предел также существует и равен 0. И вообще, исходный предел равен $\lim\limits_{n\to\infty}\sin(2\pi a_n/n)$, если он существует.

-- Чт июн 21, 2012 17:39:50 --

Вот ещё о чём подумалось. Если множество частичных пределов $\{\sin n!\}$ совпадает с $[-1,1]$ (даже можно ослабить, если оно хотя бы содержит интервал), то для любого рационального $q$ множество частичных пределов $\{\sin qn!\}$ также будет содержать интервал. Отсюда сразу следует иррациональность $e\pi$
Стало быть, либо известно, что это множество дискретно (что как минимум странно), либо оно неизвестно (открытая проблема).

[Shtorm]

Евгений Машеров в сообщении #587487 писал(а):

(Оффтоп)

Звонок на математический факультет. "Как разделить угол в 57 градусов на три части?". Декан и оказавшиеся в его кабинете профессора начинают оживлённо и весьма глубоко обсуждать. Тут вмешивается секретарь деканата: "А откуда звонили-то?". "С филфака!" "Так скажите, пусть транспортир возьмут!"
Это я к тому, что, судя по уровню прочих задач, здесь хватило бы простого рассуждения "Синус эн факториал колеблется туды-сюды, стал-быть, и нет никакого пределу!"

Так я почти с самого начала так и говорил. Надеюсь, через n-ое количество сообщений в этой теме, кто-нибудь это докажет строго.

[kw_artem]

Если предположить, что синус факториала имеет единственный предел, равный нулю, то можно доказать обратное следующим образом.
1) Неравенство $\lvert \sin{\varphi} \rvert \leq \varepsilon'$ выполняется вместе с неравенством $\lvert \alpha \rvert \leq \varepsilon$, где $\varphi=k\pi+\alpha$, $k$ -- целое, $\lvert \alpha \rvert \leq \frac \pi 2 $, а $\varepsilon$ зависит от $\varepsilon'$ т.к. функция $\sin \varphi$ на отрезке $[-\frac \pi 2,\frac \pi 2]$ непрерывна и неубывает). Это легко проверить, используя формулу суммы аргументов и обратную функцию.
2) Представим факториал в виде ${n!}=\varphi_n=\pi k_n+\alpha_n.$. Пусть $\sin{n!}$ имеет единственный предел равный нулю, тогда

$$\forall\varepsilon\in (0,\frac \pi 2 ) \exists N \forall n \geq N : \quad \lvert \alpha_n \rvert \leq \varepsilon.$$

Выберем $\varepsilon$, получим

$$\lvert \alpha_{N_\varepsilon} \rvert \leq \varepsilon.$$

(Далее везде $N$ вместо $N_\varepsilon$) В силу ограниченности $\varepsilon$, величина $L=\frac{\frac \pi 2}{\varepsilon}>1.$
3) С другой стороны, т.к. $\alpha_n\neq 0$ (иначе было бы ${n!}=k\pi$), существует такое натуральное $m$, что

$$\frac \varepsilon m<\lvert \alpha_N \rvert .$$

4) Рассмотрим неравенство:

$$\varepsilon<\frac \varepsilon m\frac {n!}{N!}< \frac \pi 2, \quad n >N.$$

Разделив неравенство на $\frac\varepsilon m$, получим

$$m<\frac {n!}{N!}< \frac{\frac \pi 2}{\frac\varepsilon m},$$ $$m<\frac {n!}{N!}< Lm.$$

Не всегда найдется такой $n$ удовлетворяющий полученному неравенству(при строго фиксированном $m$); но т.к. из 3 пункта следует, что $m$ можно взять еще больше, то всегда найдутся такие $m$ и $n$, что неравенство окажется выполненным.
5) Для $N$

$$\varphi_N= k\pi+\alpha_N \quad \Rightarrow {n!}=\varphi_n=\pi k\frac {n!}{N!}+\alpha_N\frac {n!}{N!}, \quad n \geq N.$$

Положим для некоторых $n\quad \lvert \alpha_n \rvert < \frac \pi 2 $. Тем самым получится, что второе слагаемое $\varphi_n$ есть $\alpha_n$. Из пунктов 2, 3 следует двойное неравенство:

$$\frac \varepsilon m\frac {n!}{N!}<\lvert \alpha_n \rvert < \frac \pi 2.$$

Как было показано в (4) найдется такой $n$, что

$$\varepsilon<\frac \varepsilon m\frac {n!}{N!}\quad \Rightarrow \quad \varepsilon <\lvert \alpha_n \rvert $$

-- противоречие.
------------------------
Надеюсь, нигде не наврал

[xmaister]

(worm2)

Так даже про плотность $\{\sin n!\}$ ничего не известно?

[kw_artem]

(Оффтоп)

точно известно что $\{\sin n\}$ плотно в [-1,1]

[xmaister]

(Оффтоп)

kw_artem, это понятно. Можно скачать, что если у многочлена $\frac{p(n)}{2\pi}$ имеется хотя бы 1 иррацциональный коэффициент, то $\{\sin p(n)\}$ плотно в $[-1,1]$

[kw_artem]

xmaister в сообщении #590762 писал(а):

(Оффтоп)
kw_artem, это понятно. Можно скачать, что если у многочлена имеется хотя бы 1 иррацциональный коэффициент, то плотно в

а можете ход рассуждений изложить вкратце

[xmaister]

(Оффтоп)

Для того, чтобы $\sin p(n)$ было плотно в $[-1,1]$ достаточно показать, что $\{\frac{p(n)}{2\pi}\}$ плотно в $[0,1]$, а для этого достаточно доказать, что $\frac{p(n)}{2\pi}$ р.р. мод1

[kw_artem]

Хорошо бы проверить: является ли точка $0$ -- предельной точкой для последовательности $\{\frac {n!} \pi\}$. Потому что, если является, то это сразу означает предельность любой точки из отрезка $[0,1]$ для той же последовательности и соответственно её плотность в том же отрезке.(а в качестве ответа на исходную задачу получим, что предел расходится)

-- 01.07.2012, 10:58 --

worm2 в сообщении #587596 писал(а):

Стало быть, либо известно, что это множество дискретно (что как минимум странно), либо оно неизвестно (открытая проблема).

Если это действительно открытая проблема и я ничего не напутал про предельную точку $0$, получатеся, что утверждение выше (точка $0$ -- предельная), которое кажется интуитивно верным, тоже открытая проблема.

-- 01.07.2012, 11:02 --

Хотя, плотность $\{\frac {n!} \pi\}$ еще не означает, что множество частичных пределов $\{\sin n!\}$ содержит интревал; последнее также будет плотным, но при этом может оказаться счетным.

[kw_artem]

kw_artem в сообщении #590890 писал(а):

Хотя, плотность еще не означает, что множество частичных пределов содержит интревал; последнее также будет плотным, но при этом может оказаться счетным.

Немного напутал если последовательность $\{\frac {n!} \pi\}$ плотна, то множество частичных пределов $\{\sin n!\}$ обязательно содержит интервал, даже если сама последовательность $\{\sin n!\}$ счетна.

[Keter]

Будет $\sin n! = \sin \Big( \Gamma (n + 1) \Big)$ ?

[kw_artem]

Keter в сообщении #591011 писал(а):

Будет ?

да по определению

[xmaister]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #591011 писал(а):

Будет $\sin n! = \sin \Big( \Gamma (n + 1) \Big)$ ?

Мне кажется, что такие трюки, как гамма и стрилинги здесь не прокатят. Наверное надо что-то похитрее.

kw_artem в сообщении #590952 писал(а):

даже если сама последовательность $\{\sin n!\}$ счетна.

А последовательность $\{\sin n!\}$ может быть несчетной?

[kw_artem]

(Оффтоп)

мне видится самым оптимальным вариантом это доказать что $0$ -- частичный предел последовательности. по крайней мере это кажется проще чем просто подстановка функций